KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

38 POGLAVLJE 2.
MATEMATIČKI UVOD - ELEMENTI VEKTORSKOG RAČUNA
postaje
∮
C
⃗V (⃗r) d⃗r =
=
[
N∑
∮
]
1
N∑
∆ S j V ⃗ (⃗rj ) d⃗r j = ∆ S j ˆn j ( −→ ∇ × V
∆ S ⃗ )
j=1
j C j j=1
/
/ ∫
N → ∞
∑ N
j=1 ∆ S j ˆn j → ∫ d⃗ = ( −→ ∇ × V
S
⃗ ) dS ⃗ .
S(C)
S ˆn j je označen jedinični vektor okomit na malu plohu d S. Time su povezani linijski integral
vektorskog polja po zatvorenoj krivulji C i površinski integral rotacije tog istog polja po površini
S(C) definiranoj krivuljom C, a dobivena se veza zove Stokesov teorem
S(C)
∮
C
∫
⃗V (⃗r) d⃗r = ( −→ ∇ × V ⃗ ) dS ⃗ . (2.46)
S(C)
Primjetimo da jedna jedina krivulja C definira beskonačno mnogo ploha S(C) čiji je ona rub.
Fizičko značenje rotacije jeste opis jednog svojstva vektorskog polja koje se naziva vrtložnost.
Ono se može iščitati iz relacije (2.43): zamislimo da V ⃗ opisuje brzinu fluida, tada je integral
na lijevoj strani različit od nule samo u onom dijelu prostora gdje fluid ima vrtloge (virove) i
tada je i odgovarajuća komponenta rotacije V ⃗ različita od nule. Naprotiv, ako je −→ ∇ × V ⃗ = 0,
kaže se da je polje bezvrtložno.
Primjer: 2.8 Izravnim računom izračunajte cirkulaciju vektorskog polja ⃗ V = x 2 y 3ˆx + ŷ + zẑ
po kružnici x 2 + y 2 = R 2 , z = 0. Isti račun provedite koristeći Stokesov teorem, ako
se za plohu integracije odabere polukugla z = + √ R 2 − x 2 − y 2 .
R: Izračunajmo cirkulaciju
∮
Γ =
C
⃗V (⃗r) d⃗r.
Uvrstimo veze pravokutnog i cilindričnog koordinatnog sustava, odjeljak 2.5,
C
⃗r = R ˆρ ,
d⃗r = R dˆρ = R dϕ ˆϕ ,
ˆϕ = −ˆx sin ϕ + ŷ cos ϕ,
x = R cos ϕ, y = R sin ϕ,
tako da je
∮
∫ 2π
⃗V (⃗r) d⃗r = R
(−R 5 sin 4 ϕ cos 2 ϕ dϕ +
0
∫ 2π
0
)
cos ϕ dϕ = − π R6
8 .
Naravno, do istog se rezultata može doći i računom pomoću Stokesova teorema.
Uvrštavanjem veze pravokutnog i sfernog koordinatnog sustava, odjeljak 2.6:
dS ⃗ = ˆr R 2 sin θdθdϕ, ˆr = ˆx sin θ cos ϕ + ŷ sin θ sin ϕ + ẑ cos θ,
x = R sin θ cos ϕ, y = R sin θ sin ϕ,