KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

6.5. PRISILNI TITRAJI HARMONIJSKOG OSCILATORA 147
nju jednadžbu po vremenu i podijelimo ju s L
d 2 I
d t 2 + R L
d I
d t + 1
L C I = V 0 ω
L
cos ωt. (6.40)
No, gornja je jednadžba upravo oblika (6.26), s prigušenjem danim sa
vlastitom frekvencijom
i vanjskom periodičnom silom
2 γ = R L ,
ω 2 0 = 1
L C ,
F v = V 0 ω
L
cos ωt.
Ukupno rješenje za struju je zbroj homogenog i partikularnog rješenja, pri čemu
homogeno rješenje eksponencijalno trne s vremenom i važno je samo u kratkom
vremenskom intervalu nakon iključenja vanjskog napona. Ono što odreduje oblik
struje nakon uključenja vanjskog napona je partikularno rješenje I P koje ćemo sada
izračunati. Pretpostavljamo da će struja u krugu titrati frekvencijom vanjskog
napona, tj. da će biti oblika
I P (t) = C cos ωt + S sin ωt. (6.41)
Uvrštavanje ovog izraza za sruju u (6.40), vodi na
[
cos ωt −ω 2 C + R L ω S + 1
L C C − V ] [
0 ω
+ sin ωt −ω 2 S − R L
L ω C + 1 ]
L C S = 0.
Buduću da sinusi i kosinusi ne mogu istovremeno biti jednaki nuli, mora svaka od
gornjih uglatih zagrada zasebno iščezavati
( 1
L C − ω2 )
C + R ω
L S = V 0 ω
L ,
− R ω
L C + ( 1
L C − ω2 )
S = 0.
Rješavanje gornjeg 2 × 2 sustava za C i S daje
C =
S =
V 0
R 2 + ( 1
ω C − ω L) 2
V 0
R 2 + ( 1
ω C − ω L) 2 R
( 1
ω C − ω L )
,
Uvrštavane gornjih vrijednosti u (6.41), daje konačni izraz za struju u stacionarnom
režimu
I P (t) = A cos(ωt − Φ),