KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

2.1. VEKTORI 11
Dekompozicija ili rastav
vektora je postupak suprotan zbrajanju vektora, gdje se jedan vektor rastavlja na dva (ili više)
vektora koji, zbrojeni, daju opet početni vektor. Ovaj je postupak koristan npr. kod analize sila
koje djeluju na promatrano tijelo, pri čemu se sile rastavljaju na svoje komponente u prikladno
odabranim smjerovima (za ilustraciju pogledati npr. sliku 5.3) Iz definicije zbrajanja vektora
slijedi da je zbrajanje vektora asocijativno: ⃗ V + ( ⃗ U + ⃗ W ) = ( ⃗ V + ⃗ U) + ⃗ W . Primjenom svojstva
asocijativnosti, zbrajanje proizvoljnog broja vektora se svodi na zbrajanje dva vektora.
Množenje vektora V ⃗ skalarom s
mijenja duljinu (normu, iznos) vektora tako da ona postaje jednaka s | V ⃗ |, a smjer vektora
ostaje nepromjenjen: sV ⃗ = s | V ⃗ | ˆV . Množenje skalarom je distributivno (tj. može se
shvatiti i kao linearni operator): s ( V ⃗ + U) ⃗ = s V ⃗ + s U. ⃗ Ovo možemo primjeniti i na rastav
vektora po komponentama
s ⃗ V = s V x ˆx + s V y ŷ + s V z ẑ .
Kod množenja vektora vektorom, razlikuju se dva slučaja: skalarno množenje, gdje je rezultat
množenja dva vektora, skalar i vektorsko množenje, gdje je rezultat množenja dva vektora
neki treći vektor.
Skalarni umnožak
dva vektora ⃗ V i ⃗ U je skalar, definiran kao
⃗V · ⃗U = | ⃗ V | | ⃗ U| cos( ⃗ V , ⃗ U), (2.2)
gdje je s cos( V ⃗ , U) ⃗ označen kosinus kuta izmedu vektora V ⃗ i U. ⃗ Očito je skalarni umnožak
dva medusobno okomita vektora, jednak nuli: V ⃗ ⊥ U ⃗ ⇔ V ⃗ · U ⃗ = 0. Prema samoj definiciji,
skalarni je umnožak komutativan: V ⃗ · ⃗U = U ⃗ · ⃗V . Skalarni umnošci baznih vektora pravokutnog
koordinatnog sustava su, redom:
ˆx · ˆx = 1, ˆx · ŷ = 0, ˆx · ẑ = 0,
ŷ · ˆx = 0, ŷ · ŷ = 1, ŷ · ẑ = 0, (2.3)
ẑ · ˆx = 0, ẑ · ŷ = 0, ẑ · ẑ = 1,
Geometrijski, umnožak |U| cos( V ⃗ , U) ⃗ je komponenta od U ⃗ u smjeru V ⃗ . Jedna od fizičkih
realizacija skalarnog umnoška je pojam rada: kod izračunavanja rada sile pri pomaku čestice,
važna je samo ona komponeta sile koja leži u smjeru pomaka, a ona je upravo dana skalarnim
umnoškom sile i radij vektora pomaka čestice, F ⃗ · d⃗r. Primjenom definicije (2.2) na rastav
vektora V ⃗ i U ⃗ po komponentama, a uzevši u obzir ortonormiranost baze, (2.3), dolazi se do
⃗V · ⃗U = (V x ˆx + V y ŷ + V z ẑ ) · (U x ˆx + U y ŷ + U z ẑ ) = V x U x + V y U y + V z U z ,
Iznos (norma) vektora se može napisati preko skalarnog umnoška kao
√ √
V = ⃗V · V ⃗ = Vx 2 + Vy 2 + Vz 2 .
Pomoću skalarnog umnoška se i kut medu vektorima može napisati kao: ˆV ·Û = 1·1 cos( ⃗ V , ⃗ U),
što možemo iskoristiti da dodemo do zapisa vektora preko njegovog iznosa i kosinusa kutova