KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

10.4. MOMENT KOLIČINE GIBANJA SUSTAVA ČESTICA 267
10.4 Moment količine gibanja sustava čestica
Moment količine gibanja jedne čestice, u odnosu na zadano ishodište, se definira kao ⃗ L = ⃗r× ⃗p .
S tim u skladu, moment količine gibanja sustava od N čestica se definira kao zbroj pojedinačnih
momenata količina gibanja svih čestica sustava
⃗L =
N∑
j=1
⃗L j =
N∑
⃗r j × m j ⃗v j ,
j=1
ili, za sustav s kontinuiranom raspodjelom mase
∫
∫
⃗L = ⃗r × dm ⃗v =
⃗r × ⃗v ρ m (⃗r) d 3 r.
Neka je, ponovo, Fv,j ⃗ oznaka za zbroj svih vanjskih sila koje djeluju na j-tu česticu sutava
(radi jednostavnosti, radit ćemo sa sustavom s diskretnom raspodjelom čestica). Veličinu ⃗r j ×
⃗F v,j , nazivat ćemo momentom vanjskih sila j-te čestice, u odnosu na zadano ishodište. Zbroj
momenata vanjskih sila svih čestica sustava ćemo označiti s ⃗ M v
⃗M v =
N∑
⃗r j × F ⃗ v,j .
j=1
˙
Iz odjeljka 4.3, relacija (4.26), znamo da za sustav od jedne čestice vrijedi ⃗ L = M. ⃗ Ispitajmo
vrijedi li slična relacija i za sustav čestica? Krenimo opet od jednadžbe gibanja j-te čestice,
koju ćemo sada s lijeva vektorski pomnožiti s ⃗r j
d⃗p j
dt
d
dt (⃗r j × m j ˙⃗rj ) −
} {{ }
˙⃗r j × m j ˙⃗rj
} {{ }
= L ⃗ j
= 0
= ⃗ F v,j +
N∑
i=1
⃗r j × d dt (m j ˙⃗r j ) = ⃗r j × ⃗ F v,j +
d
dt
d ⃗ L j
dt
N∑
⃗L j =
j=1
= ⃗r j × ⃗ F v,j +
= ⃗r j × ⃗ F v,j +
⃗f i,j
/
N∑ (⃗r j × f ⃗ )
i,j
i=1
N∑ (⃗r j × f ⃗ )
i,j
i=1
N∑ (⃗r j × f ⃗ )
i,j
i=1
N∑
⃗r j × F ⃗ v,j +
j=1
N∑
j=1
N∑ (⃗r j × f ⃗ )
i,j
i=1
⃗r j ×
/ N
∑
Lijevu stranu gornje jednakosti prepoznajemo kao vremensku promjenu momenta količine gibanja
cijelog sustava, ⃗ L, a prvi član desne strane je ukupni moment vanjskih sila M. ⃗ Pokažimo
˙
da je drugi član desne strane jednak nuli, ako su sile medu česticama usmjerene duž njihovih
spojnica, tj. ako je
⃗f i,j = f i,j
⃗r i − ⃗r j
|⃗r i − ⃗r j | .
j=1