KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

7.10. OPIS GIBANJA NEBESKIH TIJELA POMOĆU GRAFA ENERGIJE 213
Slika 7.18: (A) Putanja kružnica ako je E = E kru < 0, udaljenost od Sunca je konstantna i jednaka ρ 0 . (B)
Putanja parabola ako je E = E par = 0, najmanja udaljenost od Sunca je ρ 3 < ρ 0 . (C) Putanja je hiperbola ako
je E = E hip > 0, najmanja udaljenost od Sunca je ρ 4 < ρ 3
točki putanje okomita na radij vektor. Udaljenost tijela od Sunca je ρ = ρ 0 = const., tj. tijelo
se giba po kružnici polumjera ρ 0 (slika 7.18.A). Položaj minimuma Ep
ef. , tj. udaljenost tijela
od izvora sile, je lako odrediti kao ekstrem funkcije Ep
ef. (ρ)
∂Ep
ef.
= 0 ⇒ ρ
∂ρ ∣ 0 = L2 0
mK .
ρ0
Sada možemo izračunati i energiju tijela koje se giba po kružnici
E kru = Ep ef (ρ 0 ) = − 1 mK 2
2 L 2 0
= − K 2ρ 0
. (7.59)
Iz (1) i (2) zaključujemo da negativne vrijednosti energije, vode na gibanje po zatvorenim
krivuljama u polju gravitacijske i harmonijske sile. Za druge oblike centralnih sila, krivulje ne
moraju biti zatvorene, ali se gibanje i dalje odvija u jednom ograničenom dijelu prostora.
(3) Neka je sada ukupna mehanička energija tijela konstantna i jednaka nuli:
ili veća od nule
E = E par = 0
E = E hip > 0
(slika 7.18 B i C). U tom slučaju postoji samo najmanja dozvoljena udaljenost tijela od Sunca,
ρ 3 , tj. ρ 4 . Najveća udaljenost tijela od Sunca nije ograničena. U nastavku ovog odjeljka ćemo
pokazati da ova gibanja jesu gibanja po paraboli (E = E par = 0) i hiperboli (E = E hip > 0).
Ova se gibanja dakle odvijaju u neograničenom dijelu prostora.
Podsjetimo se još jednom, da se sva gibanja, opisana u (1), (2) i (3) odvijaju u ravnini okomitoj
na konstantni vektor momenta količine gibanja tijela ⃗ L 0 . Primjetimo da što je energija tijela
veća (pozitivnija), to se tijelo više približava izvoru sile - Suncu (čije se središte nalazi u ρ = 0).