KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

36 POGLAVLJE 2.
MATEMATIČKI UVOD - ELEMENTI VEKTORSKOG RAČUNA
Slika 2.14: Uz izvod Stokesova teorema.
Slično je i
⃗r = ˆx x + ŷ y + ẑ z,
pa je, uz konstantni z,
d⃗r = ˆx dx + ŷ dy,
z = const.
Izračunajmo sada cirkulaciju po malom pravokutniku imajući u vidu da d⃗r ima smjer obilaska
krivulje:
∮
∮ [
]
⃗V d⃗r = V x (x, y, z) dx + V y (x, y, z) dy
C
=
+
C
∫ x+dx
x
∫ x
x+dx
V x (x, y, z) dx +
∫ y+dy
V x (x, y + d y, z) dx +
y
∫ y
V y (x + d x, y, z) dy
y+dy
V y (x, y, z) dy .
Budući da su pravokutnici infinitezimalni, vrijednost polja je približno konstantna u svim
točkama stranica pravokutnika i približno je jednaka vrijednosti na polovici promatrane stranice.
Zato je promatrani integral približno jednak
≃ V x (x + dx/2, y, z) dx + V y (x + dx, y + dy/2, z) dy − V x (x + dx/2, y + dy, z) dx − V y (x, y + dy/2, z) dy.
Za male dx, dy i dz, komponente polja V x,y,z se mogu razviti u Taylorov red
[
= V x (x, y, z) + dx ] [
∂ V x
2 ∂ x + · · · dx + V y (x, y, z) + dx ∂ V y
∂ x + dy ]
∂ V y
2 ∂ y + · · · dy
[
− V x (x, y, z) + dx ∂ V x
2 ∂ x + dy ∂ V ] [
x
∂ y + · · · dx − V y (x, y, z) + dy ]
∂ V y
2 ∂ y + · · · dy
( ∂ Vy
=
∂ x − ∂ V )
x
dx dy + O(d 3 )
∂ y