KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

316 POGLAVLJE 11. MALI TITRAJI SUSTAVA ČESTICA
Valni broj može poprimati samo diskretne vrijednosti odredene jednadžbom
k = k n = (2 n + 1) π , n = 0, 1, 2, · · · .
2 L
Time smo dobili niz rješenja za svaku pojedinu vrijednost n. Uz redefiniciju konstanti a 1 a 2 → a n
i a 1 b 2 → b n , ta rješenja glase
[
]
(2 n + 1)πx (2 n + 1)πct (2 n + 1)πct
ψ n (x, t) = cos a n cos + b n sin .
2 L
2 L
2 L
Sada ispitujemo periodičnost u prostornoj i vremenskoj varijabli.
a vremensku periodičnost sa T
ψ n (x, t) = ψ n (x + λ, t), (11.27)
ψ n (x, t) = ψ n (x, t + T ). (11.28)
Prostorna ovisnost ψ n (x, t) je sadržana u članu cos[(2 n + 1)πx]/(2 L), pa se λ odreduje iz
cos
(2 n + 1)πx
2 L
(2 n + 1)π(x + λ)
= cos
2 L
(2 n + 1)πx (2 n + 1)πλ
= cos cos
2 L
2 L
Gornja je jednadžba zadovoljena ako je
cos
(2 n + 1)πλ
2 L
= 1, sin
− sin
(2 n + 1)πλ
2 L
(2 n + 1)πx
2 L
= 0,
sin
(2 n + 1)πλ
2 L
tj. ako je [(2 n + 1)πλ]/(2 L) = 2π · m, za m = 1, 2, · · · . Opet je najmanja vrijednost λ ona sa
m = 1, tako da zaključujemo, da je za svaki dani n
λ = λ n =
4L , n = 0, 1, 2, . . . .
2 n + 1
Kao i valni broj k n i valna duljina je diskretna, pri čemu je opet k n λ n = 2π.
Vremenska ovisnost ψ n (x, t) je ista kao i u prethodnom odjeljku, pa je i vremensko ponašanje
isto
T = T n =
4L
, n = 0, 1, 2, . . . ,
(2 n + 1)c
ω n = (2 n + 1)πv f
2L
Zbog linearnosti i homogenosti valne jednadžbe, opće rješenje za pomak ψ n (x, t) je
ψ(x, t) =
∞∑
cos
n=0
(2 n + 1)πx
2 L
.
[
(2 n + 1)πct
a n cos + b n sin
2 L
]
(2 n + 1)πct
. (11.29)
2 L
Početni uvjeti:
Nepoznate konstante a n i b n ćemo odrediti iz početnih uvjeta na položaj i brzinu svakog elementa