KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

170 POGLAVLJE 7. GRAVITACIJA I CENTRALNE SILE
Gornjom formulom možemo računati i gravitacijsko privlačenje koje potječe izmedu čestice
mase m i makroskopskog tijela. U tu ćemo svrhu, u mislima, podijeliti cijelo tijelo na vrlo
veliki broj, N >> 1, djelića mase ∆ m j (slika 7.3.B). Ti su djelići dovoljno mali da se za
svaki od njih može točno definirati vektor njihovog položaja ⃗r j . Na svaki od tih malih djelića
primjenimo gornji izraz i za silu gravitacijskog privlačenja izmedu čestice i tijela dobijemo
⃗F G = −G m
N∑
j=1
∆ m j
⃗r − ⃗r j
|⃗r − ⃗r j | 3 .
Promatrani dijelovi ∆ m j su mali u odnosu na ukupnu masu tijela, ali oni još uvijek sadrže
ogroman broj (reda 10 23 ) atoma ili molekula. Zbog tog velikog broja gradivnih čestica pojam
masene volumne gustoće tijela, ρ m (⃗r j ), u okolici točke ⃗r j je dobro definiran i dan je omjerom
mase ∆ m j i volumena ∆ V j promatranog malog dijela tijela
ρ m (⃗r j ) = ∆ m j
∆ V j
,
gdje ∆ V j označava mali volumen u okolici točke ⃗r j . Uz ove oznake, možemo za silu napisati
⃗F G = −G m
N∑
j=1
∆ V j ρ m (⃗r j )
⃗r − ⃗r j
|⃗r − ⃗r j | 3 .
U granici kada podjela na male djeliće postaje sve finija i finija, tj. kada N → ∞, gornji zbroj
prelazi u integral, a zbrajanje po indeksu j prelazi u integraciju po varijabli ⃗r j → ⃗r ′ , koja
prolazi svim točkama tijela
N∑
j=1
∆ V j
→
∫
d V (⃗r ′ ).
Slovom V ćemo uskoro početi označavati gravitacijski potencijal, pa ćemo zato za diferencijal
volumena koristiti oznaku d 3 r ′ , umjesto d V (⃗r ′ ). Time za gravitacijsku silu izmedu čestice
mase m u točki ⃗r i tijela opisanog masenom gustoćom ρ m (⃗r ′ ), dobivamo
∫
⃗F G (⃗r) = −G m
ρ m (⃗r ′ )
⃗r − ⃗r ′
|⃗r − ⃗r ′ | 3 d3 r ′ . (7.3)
Integrira se po volumenu tijela, tj. po dijelu prostora u kojemu je ρ m (⃗r ′ ) ≠ 0.
Na sličan način, primjenom načela pridodavanja, možemo izračunati i silu gravitacijskog privlačenja
izmedu dva tijela A i B (slika 7.4). Rastavimo, u mislima, oba tijela na male dijelove
masa d m A i d m B . Ti su dijelovi toliko mali da na njih možemo primjeniti izraz za silu izmedu
čestica
d ⃗ F G = −G d m A d m B
⃗r A − ⃗r B
|⃗r A − ⃗r B | 3 .
Ukupna sila izmedu tijela A i B se dobije zbrajanjem (tj. integracijom) sila medu pojedinim
djelićima oba tijela
∫ ∫
⃗r A − ⃗r B
⃗F G = −G d m A d m B
A B |⃗r A − ⃗r B | . 3