KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

158POGLAVLJE 6. GIBANJE POD DJELOVANJEM ELASTIČNE SILE: HARMONIJSKI OSCILATOR I MATEMATIČK
Gornje dvije jednadžbe prikazuju istu elipsu, pa moraju biti jednake, tj.
umnošku x ′ · y ′ , mora biti jednak nuli, a to je moguće samo ako je
sin 2Φ cos 2Φ
sin 2Φ
− − 2 cos(Φ
A 2 x − Φ y ) +
x A x A y A 2 y
= 0,
član srazmjeran
ili, nakon kraćeg sredivanja,
tan 2Φ = 2A xA y
cos(Φ
A 2 x − A 2 x − Φ y ),
y
što predstavlja jednadžbu za odredivanje kuta zakreta koordinatnih sustava, Φ. Usporedbom
gornjih izraza još zaključujemo i da je
( )/
cos
(A ′ x) −2 2 Φ sin 2Φ
= − cos(Φ x − Φ y ) + sin2 Φ
sin 2 (Φ x − Φ y )
A x A y
(A ′ y) −2 =
A 2 x
( sin 2 Φ
+
A 2 x
A 2 y
sin 2Φ
cos(Φ x − Φ y ) + cos2 Φ
A x A y A 2 y
)/
sin 2 (Φ x − Φ y ).
Promotrimo neke posebne slučajeve jednadžbe (6.54):
Ako je Φ x = Φ y , tada se jednadžba elipse, (6.54), degenerira u
( x
A x
− y A y
) 2
= 0 ⇒ y = A y
A x
x
pravac koji leži na dijagonali pravokutnika duljine stranica A x i A y (slika 6.14.A).
Slika 6.14: Elipsa - posebni slučajevi .
Ako je Φ x = Φ y + π, tada se jednadžba elipse degenerira u
( x
A x
+ y A y
) 2
= 0 ⇒ y = − A y
A x
x
pravac koji leži na drugoj dijagonali pravokutnika duljine stranica A x i A y (slika 6.14.B).