KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

200 POGLAVLJE 7. GRAVITACIJA I CENTRALNE SILE
Kao što smo pokazali na strani 172, gravitacijska je sila konzervativna, a za konzervativne
sile vrijedi zakon o sačuvanju mehaničke energije (zbroj kinetičke i potencijalne energije je
konstantan). Izračunajmo ukupnu mehaničku energiju ovog sustava
E = m 1
2 (ẋ2 1 + ẏ 2 1) + m 2
2 (ẋ2 2 + ẏ 2 2) − G m 1m 2
|⃗r 1 − ⃗r 2 | ,
Uvedimo relativne koordinate
|⃗r 1 − ⃗r 2 | = √ (x 1 − x 2 ) 2 + (y 1 − y 2 ) 2 .
x = x 2 − x 1 , y = y 2 − y 1 .
U sustavu s ishodištem u središtu mase je, prema (7.46),
x 2 = − m 1
m 2
x 1 , y 2 = − m 1
m 2
y 1
(sjetimo se da smo postavili koordinatni sustav tako da je z 1 = z 2 = 0). Gornje veze nam
omogućavaju izraziti x j i y j preko relativnih koordinata x i y
x 1 = x 2 − x = − m 1
m 2
x 1 − x ⇒ x 1 = − m 2
x 2 = − m 1
m 2
x 1 =
m 1
m 1 + m 2
x,
m 1 + m 2
x,
y 1 = y 2 − x = − m 1
m 2
y 1 − y ⇒ y 1 = − m 2
y 2 = − m 1
m 2
y 1 =
m 1
m 1 + m 2
y,
m 1 + m 2
y,
Označimo li s ρ medusobnu udaljenost čestica, ρ = √ x 2 + y 2 , tada energiju dobivamo izraženu
preko relativnih koordinata
E = m [
]
1 m 2 2
m 2
2 (m 1 + m 2 ) 2 ẋ2 2
+
(m 1 + m 2 ) 2 ẏ2 + m [
]
2 m 2 1
m 2
2 (m 1 + m 2 ) 2 ẋ2 1
+
(m 1 + m 2 ) 2 ẏ2 − G m 1m 2
ρ
= 1 (m 1 + m 2 )m 1 m 2 (ẋ 2 + ẏ 2 )
− G m 1m 2
.
2 (m 1 + m 2 ) 2 ρ
Uvede li se reducirana masa µ
ukupna je energija jednaka
1
µ = 1 m 1
+ 1 m 2
, µ = m 1m 2
m 1 + m 2
,
E = 1 2 µ ˙ρ2 − G m 1m 2
.
ρ
Opet vidimo da ako je m 1 >> m 2 , reducirana je masa približno jednaka manjoj masi m 2 i sva
kinetička energija (energija gibanja) dolazi od gibanja čestice manje mase: samo se mala masa
giba, a velika masa približno miruje u ishodištu.