KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

15.5. PRIJELAZ NA KVANTNU MEHANIKU 427
ili, ako se ukloni (pomoćna) funkcija f, preostaje operatorska jednakost
[x k , p x,l ] −
= ı δ k,l .
Na sličan način se pokazuje da su svi ostali komutatori jednaki nuli; npr.
[x k , x l ] −
f = (x k x l − x l x k ) f = 0,
[x k , y l ] −
f = (x k y l − y l x k ) f = 0,
[p x,k , p x,l ] −
f =
=
[p x,k , p y,l ] −
f =
=
[(
−ı
∂ ) (
−ı
∂ x k
(− 2 ∂ 2
[(
−ı
(− 2 ∂ 2
∂ ) (
− −ı
∂ x l
)
+ 2 ∂ 2
f = 0.
∂ x k x l ∂ x l x k ∂ ) (
−ı
∂ x k
∂ x k y l
+ 2 ∂ 2
∂ y l x k
)
∂ ) (
− −ı
∂ y l
f = 0.
∂ ) (
−ı
∂ x l
∂ ) (
−ı
∂ y l
∂ )]
f
∂ x k
∂ )]
f
∂ x k
⃗p - reprezentacija
Osim gornjega, moguć je i drugi izbor operatora za koordiantu i količinu gibanja.
(15.21) (i oni iza njih) će biti zadovoljeni i slijedećim odabirom 4
x k = ı
∂
∂ p x,k
,
y k = ı
∂
∂ p y,k
,
z k = ı
∂
∂ p z,k
,
p x,k = p x,k , p y,k = p y,k , p z,k = p z,k .
Komutatori
(15.23)
Ovakav odabir se naziva ⃗p ili impulsna reprezentacija. Da bi se provjerile komutacijske
relacije (15.21), kao i one iza njih, djelujmo komutatorima na proizvoljnu derivabilnu funkciju
koordinata i količina gibanja f(x 1 , · · · , p x,1 , · · · ). Tako se npr. za komutator koordinate i njoj
pridružene (konjugirane) količine gibanja dobije
[x k , p x,l ] −
f =
(
ı
∂
∂ p x,k
p x,l
− p x,l ı
)
∂
f =
∂ p x,k
= ı ∂ p x,l
∂ f
f + ı p x,l − p x,l ı
∂ f
∂ p
} {{ x,k
} ✟ ✟✟✟✟✟✟ ∂ p x,k
✟ ✟✟✟✟✟✟ ∂ p x,k
δ k,l
= ı δ k,l f,
ili, ako se ukloni (pomoćna) funkcija f, preostaje operatorska jednakost
4 Vidjeti npr. [12], poglavlje o integralnim preobrazbama.
[x k , p x,l ] −
= ı δ k,l .
[
ı ∂ (p x,l f)
− p x,l ı ∂ f ]
∂ p x,k ∂ p x,k