KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

441
Slika B.3: Uz izvod jednadžbe parabole.
Hiperbola se definira kao skup točaka u ravnini sa svojstvom da je razlika udaljenosti svake
točke krivulje, P , od dvije fiksne točke (fokusa, O, O ′ ) konstantna (slika B.4)
P O ′ − P O = 2a.
Spustimo li se hiperbolom iz točke P u točku Q, gornja jednadžba postaje
QO ′ − p = 2a.
pomoću gornje relacije i trokuta △(O, O ′ , Q), dolazimo do izraza za p u obliku
(2c) 2 + p 2 = QO ′2 = (2a + p) 2 ,
p = c2
a − a.
Stavimo li u jednadžbu (B.3) za kut ϕ = 0, dobivamo
ρ = OV = OC − CV = c − a,
pri čemu je i d = V E. Sada iz definicije ekscentriciteta slijedi
ɛ = ρ d = c − a
V E
S druge strane, za kut ϕ = 2 π u jednadžbi (B.3), dobivamo
⇒
V E = c − a .
ɛ
d = OE = OV + V E = c − a + V E,
uz ρ = p. Ponovo iz ekscentriciteta dobivamo
ɛ = ρ d = p
c − a + V E
⇒ V E = p ɛ − c + a.
Izjednačavanjem gornja dva izraza za V E, dobivamo
(B.8)
ɛ = c a > 1