KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

8.3.
OPĆENITO GIBANJE KOORDINATNIH SUSTAVA 235
slučaju su ⃗ ˙ R i
¨⃗R brzina i ubrzanje ishodišta sustava koji se vrti prema ishodištu nepomičnog
sustava. Označi li se s ⃗r položaj točke P u neinercijskom sustavu, tada je položaj te iste točke
P promatran iz nepomičnog sustava jednak
⃗r in = R ⃗ / d + ⃗r
∣
d t∣
d ⃗r in
d t
Slično se dobivaju i veze medu ubrzanjima
d 2 ⃗r in
d t 2
∣ = d ⃗ R
+ d ⃗r
∣
in
d t ∣ d t
in
∣
in
⃗v in = ˙ ⃗ Rin + ⃗v nin + ⃗ω × ⃗r. (8.5)
∣ ∣∣∣in
= ¨⃗ Rin + d2 ⃗r
d t 2 ∣ ∣∣∣in
⇒ (8.4) ⇒
∣
in
⃗a in = ¨⃗ Rin + ⃗a nin + ˙ ⃗ω nin × ⃗r + 2 ⃗ω × ⃗v nin + ⃗ω × (⃗ω × ⃗r). (8.6)
8.3.1 Jednadžba gibanja u neinercijskom sustavu vezanom za površinu Zemlje
Ono što zanima nas koji živimo na površini Zemlje, jeste kako izgleda gibanje promatrano iz
neinercijskog sustava, tj. zanima nas ⃗a nin .
Drugi Newtonov aksiom vrijedi u inercijskim sustavima. Iz prethodnog odjeljka se vidi da je
umnožak mase i ubrzanja u neinercijskom sustavu jednak
m⃗a nin = m⃗a in − m ¨⃗ Rin − m ˙ ⃗ω nin × ⃗r − 2m⃗ω × ⃗v nin − m⃗ω × (⃗ω × ⃗r). (8.7)
Umnožak mase i ubrzanja u inercijskom sustavu, m⃗a in = F ⃗ jeste sila videna iz inercijskog
sustava, dok su ostali članovi posljedica neinercijalnosti. Za sustav vezan s površinom Zemlje,
R ima značenje udaljenosti do središta Zemlje.
Nadimo jednadžbu gibanja čestice u odnosu na promatrača na površini Zemlje. Zbog jednostavnosti,
pretpostavit ćemo da je Zemlja kugla sa središtem u točki O (slika 8.5.A). U tom je
slučaju, slika 8.5.B, istok (E) u smjeru +ŷ , zapad (W ) je u smjeru −ŷ , jug (S) je u smjeru +ˆx ,
a sjever (N) je u smjeru −ˆx . Zemlja se vrti oko osi Z konstantnom kutnom brzinom Ω ⃗ = Ω Ẑ
i napravi jedan okret za 23 sata 56 min. i 4 sec. Stoga je
Ω =
2π
86 164 s ≃ 0. 000 072 9 s−1 ≃ 7.3 · 10 −5 s −1 .
Istovremeno se Zemlja giba oko Sunca, a kutna brzina toga gibanja je približno jednaka
ω z−s =
2π
365 · 86 164 s ≃ 2 · 10−7 s −1 .
Cijeli se Sunčev sustav giba oko središta galaksije kutnom brzinom koja je približno jednaka
ω s−g =
2π
6.3 · 10 15 s ≃ 1 · 10−15 s −1 .