KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

6.3. NELINEARNI OSCILATOR - RAČUN SMETNJE 133
Grupiraju li se članovi s istom potencijom ɛ, dobit će se red čijih nekoliko prvih članova izgleda
ovako
[b 0 a 0 ′ ′ + a 0 ] ɛ 0 + [ ]
b 0 a 1 ′ ′ + b 1 a 0 ′ ′ + a 1 − a 2 0 ɛ 1 + [b 0 a 2 ′ ′ + b 1 a 1 ′ ′ + b 2 a 0 ′ ′ + a 2 − 2a 0 a 1 ] ɛ 2 + · · · = 0
(crticom su označene derivacije po ϕ). Zanemareni su članovi s trećom i višim potencijama
ɛ. S obzirom da je ɛ konstanta, gornja jednadžba može biti zadovoljena samo ako je svaka od
uglatih zagrada jednaka nuli, što vodi na sustav jednadžba (gdje smo uzeli u obzir da je b 0 = 1)
ɛ 0 : a 0 ′ ′ + a 0 = 0,
ɛ 1 : a 1 ′ ′ + a 1 = a 2 0 − b 1 a 0 ′ ′ , (6.12)
ɛ 2 : a 2 ′ ′ + a 2 = 2a 0 a 1 − b 1 a 1 ′ ′ − b 2 a 0 ′ ′ .
Rješavanje jednadžbe uz ɛ 0 uz početne uvjete (6.11) ide isto kao i rješavanje jednadžbe linearnog
oscilatora i daje
a 0 = x 0 cos(ωt), b 0 = 1. (6.13)
Sada ovo rješenje za a 0 uvrštavamo u jednadžbu uz ɛ 1 i dolazimo do
a 1 ′ ′ + a 1 = x2 0
2 + b 1x 0 cos ϕ + x2 0
cos 2ϕ.
2
To je nehomogena diferencijalna jednadžba, pa je njezino opće rješnje zbroj homogenog i partikularnog
rješenja a 1 = a 1,H + a 1,P . Homogeno rješenje je očito oblika A cos ϕ + B sin ϕ, dok
ćemo partikularno rješenje potražiti u obliku
a 1,P = c 1 + c 2 ϕ sin ϕ + c 3 cos 2ϕ.
Uvrštavanjem u jednadžbu za a 1 i usporedbom lijeve i desne strane jednadžbe, zaključujemo
da konstante c j moraju biti jednake
c 1 = x2 0
2 , c 2 = b 1x 0
2 , c 3 = − x2 0
6 .
No, dio rješenja srazmjeran s ϕ sin ϕ nije periodičan, pa ga moramo odbaciti, tj. njegov
koeficijent, c 2 , mora biti jednak nuli, a to je moguće samo ako je b 1 = 0. Sada za cijelo
(homogeno plus partikularno) rješenje a 1 preostaje
a 1 = A cos ϕ + B sin ϕ + x2 0
2 − x2 0
cos 2ϕ.
6
Konstante A i B odredujemo iz početnih uvjeta (6.11): A = −x 2 0/3, B = 0,
a 1 = x2 0
2 − x2 0
3 cos(ωt) − x2 0
6 cos(2ωt), b 1 = 0. (6.14)
Za izračunavanje a 2 (ϕ) treba riješiti treću od jednadžba (6.12)
a ′ ′
2 + a 2 = 2a 0 a 1 − b 1 a ′ ′
1 − b 2 a ′ ′
0 = 2a 0 a 1 + b 2 a 0 .
Nakon uvrštavanja rješenja (6.13) i (6.14) za a 0 i a 1 , desna strana gornje jednadžbe je oblika
c n · cos(nϕ)
a 2 ′ ′ + a 2 = − x3 0
3 + x 0(b 2 + 5 6 x2 0) cos ϕ − x3 0
3 cos 2ϕ − x3 0
6
cos 3ϕ. (6.15)