KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

7.2. GRAVITACIJSKO PRIVLAČENJE OKRUGLIH TIJELA 179
Krenimo od jednog malo općenitije postavljenog problema. Izračunat ćemo gravitacijsku silu
izmedu homogene šuplje kugle mase M, unutrašnjeg polumjera R u , vanjskog polumjera R v i
čestice mase m koja se nalazi na udaljenosti r od središta kugle (slika 7.5). Ako se odabere
R u = 0, dobit će se obična puna kugla.
Važno svojstvo kugle je da ona ima konstantnu masenu gustoću ρ 0 = 3M/[4(R 3 v − R 3 u)π]. Zbog
Slika 7.5: Gravitacijska sila šuplje kugle.
sferne simetrije problema, koristit ćemo sferni koordinatni sustav, koji ćemo postaviti tako da
se čestica nalazi na osi z, a središte kugle je u ishodištu. Sila na česticu mase m u točki ⃗r = rẑ
je
⃗F G (⃗r) = − G m
∫
ρ 0
⃗r − ⃗r ′
|⃗r − ⃗r ′ | 3 d3 r ′ .
Integrira po dijelu prostora u kojemu je gustoća šuplje kugle različita od nule.
⃗F G (⃗r) =
−3GmM
4(R 3 v − R 3 u)π
∫ Rv
R u
∫ π ∫ 2π
r ′ 2 dr ′ sin θ ′ dθ ′
0
0
dϕ ′ rẑ − r ′ ˆr ′
(r 2 + r ′ 2 − 2rr ′ cos θ ′ ) 3/2 .
Uvrstimo li za ˆr ′ = ˆx sin θ ′ cos ϕ ′ + ŷ sin θ ′ sin ϕ ′ + ẑ cos θ ′ (dobiven ranije u (2.65)),
razlomak podintegralnog izraza postaje
r ′ (sin θ ′ cos ϕ ′ˆx + sin θ ′ sin ϕ ′ ŷ ) + (r − r ′ cos θ ′ )ẑ
(r 2 + r ′ 2 − 2rr ′ cos θ ′ ) 3/2 ,
lako se vidi da integracija po ϕ ′ u članovima uz ˆx i ŷ daje nulu, a uz član ẑ daje 2π
ˆx
∫ 2π
0
dϕ ′ cos ϕ ′ = 0,
ŷ
∫ 2π
Tako se, nakon integracije po ϕ ′ , dolazi do
⃗F G (⃗r) = ẑ
−3GmM
2(R 3 v − R 3 u)
∫ Rv
R u
0
r ′ 2 dr ′ ∫ π
dϕ ′ sin ϕ ′ = 0,
0
ẑ
∫ 2π
0
dϕ ′ = 2π.
sin θ ′ dθ ′ r − r ′ cos θ ′
(r 2 + r ′ 2 − 2rr ′ cos θ ′ ) 3/2 .