KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

10.5. ENERGIJA SUSTAVA ČESTICA 271
Zamijenom (nijemih) indeksa po kojima se zbraja u drugom članu lijeve strane, dobiva se
N∑
i=1
N∑
j=1
⃗f i,j d⃗r j +
N∑
j=1
N∑
i=1
N∑
i=1
N∑
j=1
⃗f i,j d⃗r j = −
⃗f i,j d⃗r j = − 1 2
N∑
i=1
N∑
i=1
N∑
dEp u (r i,j )
j=1
N∑
dEp u (r i,j ).
U gornjem zbroju se izostavljaju članovi i = j. Izračunajmo sada rad, W u poč,kon medučestičnih
(unutarnjih) sila pri pomaku sustava iz početne konfiguracije poč u konačnu konfiguraciju kon,
tako što ćemo prointegrirati gornji izraz
W u poč,kon =
Uz oznake
N∑
i=1
N∑
j=1
∫ kon
poč
⃗f i,j d⃗r j = − 1 2
E u p = 1 2
dobivamo rad medučestičnih sila u obliku
N∑
i=1
N∑
i=1
N∑
j=1
∫ kon
poč
N∑
Ep u (r i,j ),
j=1
j=1
dE u p (r i,j ) = − 1 2
N∑
i=1
N∑
]
[Ep u (r i,j ) kon − Ep u (r i,j ) poč
W u poč,kon = E u p (poč) − E u p (kon). (10.20)
j=1
Rad vanjskih sila:
Prijedimo sada na rad vanjskih sila, koje su po pretpostavci takoder konzervativne, i daju se
izraziti kao negativni gradijent vanjske potencijalne energije Ep(r v j ) (primjetimo da ova potencijalna
energija ovisi o položaju samo jedne čestice, tj. o njezine tri koordinate, npr.: x j , y j , z j )
⃗F v,j = − −→ /
∇ j Ep(r v j )
d⃗r j ·
⃗F v,j d⃗r j = − −→ ∇ j Ep(r v j )d⃗r j
(
)
= − ˆx ∂Ev p(r j )
+ ŷ ∂Ev p(r j )
+ ẑ ∂Ev p(r j )
)
(ˆx dx j + ŷ dy j + ẑ dz j
∂x j ∂y j ∂z j
( ∂E
v
)
p (r j )
= − dx j + ∂Ev p(r j )
dy j + ∂Ev p(r j )
dz j .
∂x j ∂y j ∂z j
Izraz u gornjoj zagradi prepoznajemo kao potpuni diferencijal dE v p(r j ), pa je
N∑
j=1
∫ kon
poč
∫ kon
poč
⃗F v,j d⃗r j = = −dE v p(r j )
⃗F v,j d⃗r j = −
⃗F v,j d⃗r j =
N∑
j=1
∫ kon
poč
dE v p(r j ) = E v p(r j ) poč − E v p(r j ) kon
/
[E v p(r j ) poč − E v p(r j ) kon
]
.
/ ∫ kon
poč
∑ N
j=1