KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

258 POGLAVLJE 10. SUSTAVI ČESTICA
Slika 10.2: Uz definiciju volumne (A), površinske (B) i linijske (C), masene gustoće.
Površinska masena gustoća:
Ako se sustav s kontinuiranom raspodjelom mase proteže po površini, tada se u okolini točke
⃗r definira površinska masena gustoća σ m (⃗r) kao omjer diferencijala mase d m i površine d S na
kojoj se nalazi ta masa (slika 10.2.B)
σ m (⃗r) = lim
∆S→0
[σ m ] = [m]
[l 2 ] .
∆ m
∆ S = d m
d S ,
Uglatom zagradom je označena dimenzija površinske gustoće. Ako σ m (⃗r) ima istu vrijednost u
svim točkama sustava, onda je gustoća konstantna i jednaka je omjeru ukupne mase m i ukupne
površine S sustava, σ m = m/S. Za zadanu površinsku gustoću, masa m(S 0 ) sustava sadržana
na dijelu površine S 0 < S, računa se kao
∫
m(S 0 ) = σ m (⃗r) dS.
S 0
Posebno, ako je gustoća konstantna, masa tijela sadržana na površini S 0 je jednaka m(S 0 ) =
m S 0 /S. Kao dvodimenzijski objekt, plohu je moguće opisati s dva parametra, ili dvije poopćene
koordinate q 1 i q 2 , tj. ⃗r = ⃗r(q 1 , q 2 ). U skladu s definicijom vektorskog umnoška, str. 12,
diferencijal ploštine plohe je dan sa
dS = |d ⃗q 1 × d ⃗q 2 |,
gdje su d ⃗q 1 i d ⃗q 2 tangencijalni vektori koordinatnih linija (pokazuju smjer porasta odgovarajuće
koordinate)
d ⃗q 1 = ∂⃗r (
dq 1 = ˆx ∂x + ŷ ∂y + ẑ ∂z )
dq 1
∂q 1 ∂q 1 ∂q 1 ∂q 1
d ⃗q 2 = ∂⃗r
∂q 2
dq 2 =
1 Carl Gustav Jakob Jacobi, 1804 - 1851
(
ˆx ∂x
∂q 2
+ ŷ ∂y
∂q 2
+ ẑ ∂z
∂q 2
)
dq 2 .