KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

8 POGLAVLJE 2.
MATEMATIČKI UVOD - ELEMENTI VEKTORSKOG RAČUNA
potpuno odredenje navedenih veličina, potrebno je D 2 realnih brojeva i zato se one zovu tenzori
drugog reda. U odgovarajućoj bazi, tenzori drugog reda se mogu reprezentirati kvadratnim
matricama.
Skalarni, vektorski ili općenito tenzorski karakter odredene fizičke veličine se vidi iz njezinog
ponašanja u odnosu na vrtnju (zakret) koordinatnog sustava (vidjeti (2.91) i (2.105)). Skalar
je odreden samo jednim brojem, pa ne ovisi o promjeni smjerova koordinatnog sustava, kaže
se da je invarijantan na zakret koordinatnog sustava (npr. zapis mase čestice od 5 kg ostaje
nepromjenjen nakon zakreta sustava za proizvoljni kut).
Za razliku od skalara, vektor je osim svojim iznosom, karakteriziran i smjerom u odnosu na
referentne smjerove koordinatnog sustava. Stoga će promjena referentnih smjerova (pri zakretu
sustava) uzrokovati i promjenu u zapisu vektora (npr. zapisi položaja i brzine spomenute čestice
mase 5 kg, će se promijeniti uslijed zakreta koordinatnog sustava).
Uvedimo sada pojam fizičkog polja. Ako svakoj točki prostora (čiji položaj označavamo s
⃗r), u svakom vremenskom trenutku (koji opet označavamo s t) možemo pridružiti odredenu
vrijednost skalara s, vektora ⃗ V ili tenzora T
s(⃗r, t), ⃗ V (⃗r, t), T (⃗r, t),
tada ćemo takve skalare, vektore ili tenzore, nazivati skalarnim, vektorskim ili tenzorskim
poljem. Npr. skalarno polje temperature T (⃗r, t) daje vrijednost temperature u odredenoj točki
prostora ⃗r u odredenom vremenskom trenutku t. Za fluid koji se giba, može se definirati
vektorsko polje brzine ⃗v(⃗r, t), koje označava brzinu fluida u točki ⃗r u trenutku t. Slično je
i s gravitacijskom privlačnom silom Zemlje F ⃗ G (⃗r): svakoj točki prostora pridružujemo vektor
usmjeren prema središtu Zemlje, iznosa jednakog gravitacijskoj sili u toj točki - skup svih takvih
vektora se zove polje gravitacijske sile Zemlje.
Vektore je uobičajeno prikazivati u koordinatnim sustavima. Najčešće ćemo koristiti pravokutni
(PKS), 2 cilindrični (CKS, odjeljak 2.5) i sferni (SKS, odjeljak 2.6) koordinatni sustav.
Zadržimo se, za sada, na dobro nam poznatom, pravokutnom sustavu.
Bazne vektore
ćemo označavati s
ˆx , ŷ , ẑ .
Svaki od gornjih vektora ima smjer porasta koordinate čije ime nosi. Komponentama vektora
⃗V ćemo nazivati projekcije danog vektora na bazne vektore odabranog koordinatnog sustava:
⃗V = V x ˆx + V y ŷ + V z ẑ .
Vektori se mogu prikazati i u obliku D × 1 matrice (gdje je D dimenzija prostora; u našim
primjerima je D = 3), tako što će bazni vektori biti stupci oblika
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
1
0
0
ˆx =
⎢ 0
⎥
⎣ ⎦ , ŷ = ⎢ 1
⎥
⎣ ⎦ , ẑ = ⎢ 0
⎥
⎣ ⎦ ,
0
0
1
2 Pravokutni koordinatni sustav je prvi uveo René Descartes (latinizirano: Cartesius), 1637. godine.