KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

2.4. VEKTORSKI DIFERENCIJALNI OPERATORI 29
Gornji je rezultat dobiven izravnom primjenom pravila za derivaciju umnoška dvije funkcije.
Tako npr. član s derivacijom po x daje
ˆx ∂ ∂ x
(
)
V xˆx + V y ŷ + V z ẑ
= ˆx ∂ V xˆx
∂ x
+ ˆx ∂ V yŷ
∂ x
+ ˆx ∂ V yŷ
(
∂ x
= ˆx ˆx ∂ V )
x
∂ x + V ∂ ˆx
x + ˆx
∂ x
= ∂ V x
∂ x ,
(
ŷ ∂ V y
∂ x + V y
) (
∂ ŷ
+ ˆx ẑ ∂ V )
z
∂ x ∂ x + V ∂ ẑ
z
∂ x
gdje smo koristili činjenice da su vektori ˆx , ŷ , ẑ medusobno okomiti i konstantni po svom iznosu
i smjeru, tako da su njihove derivacije i medusobni skalarni umnošci, jednaki nuli. Sličan je
postupak i za ostale komponente. Rezultat divergencije vektorskog polja V ⃗ je skalarno
polje −→ ∇V ⃗ dano izrazom (2.20).
Sjetimo se što smo zapravo htjeli izračunati? Računali smo tok polja V ⃗ kroz zatvorenu plohu
S i dobili smo
∮
[
Φ = ⃗V d S ⃗ N∑
∮ ] /
/ ∫
1
= ∆ v j V ⃗ d ⃗
N → ∞
S j = ∑
S
∆ v N
j S j j=1 ∆ v j → ∫ = d 3 r −→ ∇V v(S) d3 r
⃗ .
j=1
Budući da nismo tražili da ⃗ V zadovoljava nikakva posebna svojstva osim derivabilnosti, možemo
reći da za proizvoljno derivabilno vektorsko polje ⃗ V vrijedi Gaussov teorem 8
v(S)
∮
S
∫
⃗V d S ⃗ =
v(S)
−→ ∇ ⃗ V d 3 r, (2.21)
gdje je v(S) volumen odreden zatvorenom plohom S.
Primjer: 2.3 Izračunajte tok radij vektora ⃗r kroz plohu valjka polumjera baze R i visine H,
ako je središte baze u ishodištu koordinatnog sustava, a os valjka se podudara sa osi
ẑ , kao što je to prikazano slikom 2.12.
R: U ovom je primjeru vektorsko polje naprosto zadano radij vektorom, ⃗ V = ⃗r.
Treba, dakle izračunati
∮
⃗r d ⃗ S ,
pri čemu integral ide po površini plohe valjka. Zbog simetrje plohe, prirodno je
odabrati cilindični koordinatni sustav (odjeljak 2.5). U njemu je ⃗r = ρˆρ +zẑ , a dS ⃗ =
dB 1 (−ẑ ) + dB 2 (+ẑ ) + dP ˆρ , gdje dB j označava diferencijale površine na bazama
valjka, a dP na njegovom plaštu. Uzmemo li u obzir ortonormiranost vektora ˆρ i
8 Koji treba razlikovati od Gaussovog zakona iz elektrostatike.