KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

7.4. MULTIPOLNI RAZVOJ POTENCIJALA 193
Slika 7.9: Uz multipolni razvoj gravitacijskog potencijala.
s (r ′ , θ ′ , ϕ ′ )
⃗r = r(ˆx sin θ cos ϕ + ŷ sin θ sin ϕ + ẑ cos θ) = rˆr ,
⃗r ′ = r ′ (ˆx sin θ ′ cos ϕ ′ + ŷ sin θ ′ sin ϕ ′ + ẑ cos θ ′ ) = r ′ ˆr ′ .
Smatrat ćemo da su točke izvori potencijala kontinuirano raspodjeljene gustoćom naboja ρ q (⃗r ′ )
po konačnom dijelu prostora u okolici ishodišta (slika 7.9). U skladu s gornjom diskusijom,
ograničit ćemo se na račun potencijala u točkama na udaljenostima r za koje vrijedi
r >> r ′ .
Gornja nejednakost nam omogućava definirati malu veličinu r ′ /r po kojoj razvijamo nazivnik
iz podintegralne funkcije u izrazu za potencijal (7.16)
[
1
|⃗r − ⃗r ′ | = 1
√
r2 − 2rr ′ (ˆr · ˆr ′ ) + r = 1 1 − 2 r ( ) ] ′
r ′ 2 r r (ˆr · ˆr ′ ′ 2 −1/2
) +
.
r
Koristeći Taylorov (7.35) uz:
x ≡ −2 r ( ) ′
r
r (ˆr · ˆr ′ ′ 2
) + ,
r
( ) r
x 2 ′ 2 ( r
= 4 (ˆr · ˆr ′ ) 2 ′
− 4
r
r
( r
x 3 ′
= −8
r
dobivamo
1
|⃗r − ⃗r ′ | = 1 r
{
1 + r ′
r (ˆr · ˆr ′ ) + 1 2
) 3
(ˆr · ˆr ′ ) 3 + O
( r
′ 4
r 4 )
.
) 3
(ˆr · ˆr ′ ) + O
( r
′ 4
r 4 )
,
( ) r
′ 2
[3(ˆr · ˆr ′ ) 2 − 1] + 3 ( r
′
2
r
r
) 3 [ ( )
5 r
(ˆr · ˆr ′ )
3 (ˆr · ˆr ′ ) 2 ′ 4
− 1]
+ O
r 4