KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

11.3. TITRANJE PRAVOKUTNE MEMBRANE 327
Zaključujemo da valni broj, a time i valna duljina, frekvencija i period, mogu poprimati samo
diskretne vrijednosti
k x = k x,n = n π
L x
, n = 1, 2, · · · ,
Donji rub:
Gornji rub:
λ x = λ x,n = 2L x
n ,
ω x = ω x,n = c x
nπ
L x
,
T x = T x,n = 2L x
n c x
.
ψ(x, 0, t) = 0 = b 1 sin k x,n x a 2 T (t) ⇒ a 2 = 0.
ψ(x, L y , t) = 0 = b 1 sin k x,n x b 2 sin k y L y T (t) ⇒ k y L y = m π, m = 1, 2, · · · .
Ovo opet vodi do zaključka o diskretnosti
k y = k y,m = m π
L y
, m = 1, 2, · · · ,
λ y = λ y,m = 2L y
m ,
ω y = ω y,m = c y
mπ
L y
,
T y = T y,m = 2L y
n c y
.
Diskretna postaje i kružna frekvencija ω
ω = ω n,m =
√
ω 2 x,n + ω 2 y,m = π
Time rješenje za ψ postaje ovisno o indeksima n i m
√
c 2 x n 2
L 2 x
+ c2 y m 2
.
L 2 y
ψ n,m (x, y, t) = b 1 sin k x,n x b 2 sin k y,m y (a 3 cos ω n,m t + b 3 sin ω n,m t).
Uz redefiniciju konstanata b 1 b 2 a 3 → a n,m i b 1 b 2 b 3 → b n,m , pišemo
ψ n,m (x, y, t) = sin k x,n x sin k y,m y (a n,m cos ω n,m t + b n,m sin ω n,m t).
Budući da je polazna valna jednadžba linearna, to će ukupno rješenje (ono koje zadovoljava i
rubne i početne uvjete) biti linearna kombinacija svih mogućih ψ n,m -ova
∞∑ ∞∑
∞∑ ∞∑
(
)
ψ(x, y, t) = ψ n,m (x, y, t) = sin k x,n x sin k y,m y a n,m cos ω n,m t+b n,m sin ω n,m t .
n=1
m=1
n=1
m=1
(11.34)
Kao i u nekoliko prethodnih odjeljaka, preostale nepoznate koeficijente a n,m i b n,m ćemo odrediti
iz (početnih) uvjeta na položaj i brzinu svih točaka membrane u t = 0.
Početni položaj:
f 0 (x, y) = ψ(x, y, 0) =
∞∑
n=1
∞∑
m=1
sin nπx
L x
sin mπy
L y
a n,m .