KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

56 POGLAVLJE 2.
MATEMATIČKI UVOD - ELEMENTI VEKTORSKOG RAČUNA
Izračunajmo volumen V paralelopipeda čije su stranice vektori ⃗e i , npr.
V = ⃗e 1 · (⃗e 2 × ⃗e 3 ) = 1 [ 1
V (⃗e 2 × ⃗e 3 ) ·
V (⃗e 3 × ⃗e 1 ) × 1 ]
V (⃗e 1 × ⃗e 2 ) .
Primjenom relacije (2.8), dobiva se
V = 1
V 3 (⃗e 2 × ⃗e 3 ) · {[(⃗e 3 × ⃗e 1 ) · ⃗e 2 ] · ⃗e 1 − [(⃗e 3 × ⃗e 1 ) · ⃗e 1 ] · ⃗e 2 } (2.73)
= 1
V 3 (⃗e 2 × ⃗e 3 ) · {V ⃗e 1 − 0} = 1
V 2 (⃗e 2 × ⃗e 3 ) · ⃗e 1 = 1 V .
Vektori ⃗e i su takoder nekomplanarni, pa se proizvoljni vektor ⃗ V može napisati i u obliku
⃗V = V 1 ⃗e 1 + V 2 ⃗e 2 + V 3 ⃗e 3 .
Izrazimo i vektore ⃗e i preko vektora ⃗e i , tako što ćemo (ponovo koristeći (2.8)) izračunati npr.
ili, općenito
Sada je lako vidjeti da je
ili, kraće
⃗e 2 × ⃗e 3 = 1 V (⃗e 3 × ⃗e 1 ) × 1 V (⃗e 1 × ⃗e 2 )
= 1
V 2 {[(⃗e 3 × ⃗e 1 ) · ⃗e 2 ] · ⃗e 1 − [(⃗e 3 × ⃗e 1 ) · ⃗e 1 ] · ⃗e 2 } = 1 V ⃗e 1
⇒ ⃗e 1 = V ⃗e 2 × ⃗e 3
⃗e i = V ⃗e j × ⃗e k .
⃗e i · ⃗e i = V (⃗e j × ⃗e k ) · ⃗e i = V V = 1
⃗e i · ⃗e j = V (⃗e j × ⃗e k ) · ⃗e j = 0, i ≠ j
⃗e i · ⃗e j = δ i,j .
Sada i skalarni umnožak vektora V ⃗ i U ⃗ možemo napisati kao
( 3∑
) ( 3∑
)
⃗V · ⃗U
3∑ 3∑
= V i ⃗e i · U j ⃗e j = V i U j ⃗e i · ⃗e j =
i=1
j=1 i=1 j=1
( 3∑
) ( 3∑
)
3∑ 3∑
= V i ⃗e i · U j ⃗e j = V i U j ⃗e i · ⃗e j =
i=1
j=1 i=1 j=1
3∑
i=1
3∑
i=1
3∑
j=1
3∑
j=1
V i U j δ i,j =
V i U j δ i,j =
Skupove vektora (⃗e 1 , ⃗e 2 , ⃗e 3 ) i (⃗e 1 , ⃗e 2 , ⃗e 3 ) nazivamo medusobno recipročnim. U odnosu na skup
vektora (⃗e 1 , ⃗e 2 , ⃗e 3 ), komponente V i se nazivaju kontravarijantne, a V i kovarijantne
komponente vektora ⃗ V . U tri dimenzije vektori ⃗e i i ⃗e i se koriste u kristalografiji za opis
kristalne rešetke i njoj recipročne (inverzne) rešetke, a poopćenje na četverodimenzijski prostor
se primjenjuje u teoriji relativnosti.
U posebnom slučaju kada su ⃗e i medusobno okomiti i jediničnog iznosa, tada je i
⃗e i · ⃗e j = δ i,j ,
⃗e i = ⃗e i ,
V i = V i .
3∑
j=1
3∑
j=1
V j U j ,
V j U j .