KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

2.6. SFERNI KOORDINATNI SUSTAV 51
Lako je vidjeti da je inverzna matrica jednaka transponiranoj M −1 = M T
M T · M = M · M T = 1,
iz čega odmah slijedi
⎡
⎣ ˆx ⎤ ⎡
ŷ ⎦ = M T ⎣
ẑ
ˆr
ˆθ
ˆϕ
⎤
⎡
⎦ , M T = ⎣
sin θ cos ϕ cos θ cos ϕ − sin ϕ
sin θ sin ϕ cos θ sin ϕ cos ϕ
cos θ − sin θ 0
⎤
⎦ .
U skladu s gornjom analizom, zaključujemo da se proizvoljni vektor V ⃗
jednostupčana matrica
⎡ ⎤
⃗V =
⎢
⎣
V r
V θ
⎥
⎦ .
može prikazati kao
V ϕ
Posebno, radij vektor je oblika
⃗r = r ˆr =
⎡
⎢
⎣
r
0
0
⎤
⎥
⎦ .
Iznos vektora je dan preko Pitagorina poučka
| V ⃗ √
| = Vr 2 + Vθ 2 + V ϕ 2 .
Množenje vektora ⃗ V sklarom s raspisano po komponentama
s ⃗ V = s V r ˆr + s V θ ˆθ + s ⃗ V ϕ ˆϕ .
U skladu s definicijom skalarnog umnoška, a pomoću relacija (2.65) - (2.67), za bazne vektore
vrijedi
ˆr · ˆr = 1, ˆr · ˆθ = 0, ˆr · ˆϕ = 0,
ˆθ · ˆr = 0, ˆθ · ˆθ = 1, ˆθ · ˆϕ = 0, (2.68)
ˆϕ · ˆr = 0, ˆϕ · ˆθ = 0, ˆϕ · ˆϕ = 1,
Prema gornjoj tablici, skalarni umnožak dva vektora je
⃗V · ⃗U = (V r ˆr + V θ ˆθ + Vϕ ˆϕ ) · (U r ˆr + U θ ˆθ + Uϕ ˆϕ ) = V r U r + V θ U θ + V ϕ U ϕ ;
Pomoću skalarnog umnoška se i kut medu vektorima može napisati kao: ˆV ·Û = 1·1 cos( ⃗ V , ⃗ U),
što možemo iskoristiti da dodemo do zapisa vektora preko njegovog iznosa i kosinusa kutova
koje zatvara s koordinatnim osima.
ˆV · ˆr = cos( V ⃗ V
, ˆr ) = ⃗ V · ˆr = V r ˆr + V θ ˆθ + Vϕ ˆϕ
· ˆr = V r
[
V
V
⃗V = V cos( V ⃗ , ˆr ) ˆr + cos( V ⃗ , ˆθ ) ˆθ + cos( V ⃗ ]
, ˆϕ ) ˆϕ .
⇒ V r = V cos( ⃗ V , ˆr ),