KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

10.10. SUDARI ČESTICA 291
Slika 10.11: Necentralni sudar.
Sada tražimo četiri jednadžbe iz kojih ćemo izračunati četiri nepoznanice: po dvije komponente
brzine za svaku od dvije čestice. Primjetimo, najprije, da y komponente brzine ne sudjeluju u
sudaru (kada bi čestice imale samo brzinu u smjeru y, do sudara ne bi ni došlo), pa da zato
mora biti
v 1y ′ = v 1y = −v 1 sin(π − ϕ 1 ) = −v 1 sin ϕ 1 . (10.41)
v 2y ′ = v 2y = −v 2 sin ϕ 2 .
To su prve dvije od tražene četiri jednadžbe, one naprosto kažu da se y komponente brzina ne
mijenjaju. U ravnini (x, y) ne djeluju vanjske sile, pa zato mora vrijediti zakon o sačuvanju
ukupne količine gibanja
m 1 ⃗v 1 + m 2 ⃗v 2 = m 1 ⃗v ′ 1 + m 2 ⃗v ′ 2.
To je vektorska jednadžba koju možemo rastaviti na x komponentu
i y komponentu
m 1 v 1x + m 2 v 2x = m 1 v ′ 1x + m 2 v ′ 2x, (10.42)
m 1 v 1y + m 2 v 2y = m 1 v ′ 1y + m 2 v ′ 2y. (10.43)
No, jednadžba (10.43) nije nezavisna, nego je posljedica (10.41), tako da imamo sve skupa
tri nezavisne jednadžbe (dvije u (10.41) i jednu u (10.42)). četvrtu jednadžbu ćemo dobiti iz
Newtonovog pravila za sudare. Ponovo, u smjeru y nema sudara, a u smjeru x vrijedi
v ′ 1x − v ′ 2x = ɛ (v 2x − v 1x ). (10.44)
Jednadžbe (10.42) i (10.44) predstavljaju 2 × 2 linearni sustav za dvije nepoznanice: v ′ 1x i v ′ 2x.
Rješavanjem tog sustava se dobiva
v ′ 1x = v ′ 1 cos ϕ ′ 1 = −v 1 cos ϕ 1 (m 1 − m 2 ɛ) − v 2 cos ϕ 2 m 2 (1 + ɛ)
m 1 + m 2
,
v ′ 2x = v ′ 2 cos ϕ ′ 2 = −v 1 cos ϕ 1 m 1 (1 + ɛ) − v 2 cos ϕ 2 (m 2 − m 1 ɛ)
m 1 + m 2
.