KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

118 POGLAVLJE 5. GIBANJE ČESTICE U POLJU KONSTANTNE SILE I SILA OVISNIH O BRZINI
♣ Neka se sada čestica giba (samo) u magnetskom polju, tj. neka je: E = 0, a B ≠ 0. Tada
jednadžba (5.23) prelazi u
¨ζ + iω ˙ζ = 0. (5.25)
Funkcija čija je druga derivacija srazmjerna prvoj derivaciji, mora biti (do na konstantu) jednaka
eksponencijalnoj funkciji. Zato rješenje gornje jednadžbe tražimo u obliku
ζ = a + b e c t , ⇒ ˙ζ = b c e
c t ,
¨ζ = b c 2 e c t .
Tri nepoznate konstante a, b i c se odreduju iz same jednadžbe (5.25) i dva početna uvjeta
(5.21). Uvrštavanje gornjeg rješenja u jednadžbu daje
b c e c t (c + iω) = 0 ⇒ c = −iω
Preostale dvije konstante a i b se odreduju iz početnih uvjeta
ζ(0) = x(0) + i y(0) = 0 = a + b ⇒ a = −b,
˙ζ (0) = ẋ (0) + i ẏ (0) = v 0,x + iv 0,y = b(−iω),
a = −b = −iv 0,x + v 0,y
.
ω
Uvrstimo ove vrijednosti za konstante a, b i c u ζ = x + i y i odvojimo realni x i imaginarni y
dio
v 0,y
Re (ζ) = x(t) =
ω + v 0,x
ω sin ωt − v 0,y
cos ωt,
ω
Im (ζ) = y(t) = − v 0,x
ω + v 0,x
ω cos ωt + v 0,y
ω
sin ωt.
Ova rješenja možemo napisati preglednije, uvedemo li veličine R i Φ relacijama
√
v0,x 2 + v0,y
2
R =
, tan Φ = v 0,y
.
|ω|
v 0,x
Primjetimo da R i Φ ovise o početnim uvjetima, tj. početnim brzinama. Sada za ukupno
rješenje x, y i z možemo napisati
x(t) − v 0,y
ω = R sin(ωt − Φ), y(t) + v 0,x
ω = R cos(ωt − Φ), z(t) = v 0,z t.
To je rješenje za
(5.26)
E = 0, B ≠ 0.
U gornjim su jednadžbama vrijednosti x i y odredene parametarski preko vremena t kao parametra.
Ako se želi dobiti eksplicitna veza izmedu x i y, treba eliminirati parametar tj. vrijeme.
Za gornje je jednadžbe to lako napraviti koristeći relaciju
sin 2 α + cos 2 α = 1.