KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

10.8. LAGRANGEOVO I D’ALEMBERTOVO NAČELO 279
samo ako su sve F ⃗ v,j = 0. Ovo je lako vidjeti iz slijedećeg rasudivanja: ako su svi pomaci
medusobno neovisni, možemo sve zamišljene pomake, osim prvog, odabrati da su jednaki nuli,
pa iz gornje relacije slijedi da je F ⃗ v,1 = 0. Zatim ostavimo samo drugi zamišljeni pomak
različitim od nule, pa zaključimo da je i Fv,2 ⃗ = 0, itd. za ostale čestice i dobivamo uvjet
ravnoteže nevezanog sustava čestica u obliku
⃗F v,j = 0, j = 1, 2, · · · , N,
a to je upravo prvi Newtonov aksiom za svaku pojedinu česticu. Ako su čestice vezane, gornja
argumentacija nije primjenjiva, jer zbog veze medu česticama nije moguće da pomak samo jedne
čestice bude različit od nule, a pomaci svih ostalih čestica da su jednaki nuli: zbog postojanja
veza medu česticama, pomak jedne od njih, izazvati će i pomake drugih, s njom povezanih
čestica. Stoga je uvjet ravnoteže vezanih čestica izražen gore zaokvirenim izrazom. Taj izraz
vrijedi bez obzira jesu li vanjske sile konzervativne ili nisu. U posebnom slučaju kada su vanjske
sile konzervativne, tj. kada postoji skalarna funkcija potencijalne energije sa osobinom da
je (npr. u pravokutnom koordinatnom sustavu)
⃗F v,j = − −→ ∇ j E v p = −
(
ˆx ∂Ev p
x j
+ ŷ ∂Ev p
y j
+ ẑ ∂Ev p
z j
)
,
uvjet ravnoteže sustava vezanih čestica se može napisati i u obliku
N∑ ( ) N∑
0 = δW = ⃗Fv,j · δ⃗r j = (F v,j,x δx j + F v,j,y δy j + F v,j,z δz j )
= −
j=1
N∑
( ∂E
v
p
j=1
x j
δx j + ∂Ev p
y j
j=1
δy j + ∂Ev p
z j
δz j
)
= −
N∑
δEp,j v = −δEp.
v
j=1
δE v p = 0. (10.32)
U ravnoteži je potencijalna energija minimalna, tako da svaki pomak povećava potencijalnu
energiju.
Primjer: 10.4 Dva tijela masa m 1 i m 2 se nalaze na nepomičnoj dvostrukoj kosini kao na slici
10.7. Kosina je bez trenja, a tijela su povezane nerastezivom niti duljine l 0 i zanemarive
mase, prebačenom preko koloture (takoder bez trenja). Načelom zamišljenih
pomaka pokažite da u ravnoteži vrijedi
sin α 1
= m 2
.
sin α 2 m 1
R: U ovom se primjeru pojavljuje posebno jednostavan sustav koji se sastoji
od samo dvije čestice. Gibanje čestica je podvrgnuto trima silama: gravitaciji m j ⃗g ,
otporu podloge po kojoj se gibaju (kosina) ⃗ R j i napetosto niti ⃗ F nap,j (uz zanemarivanje
sile trenja) i jednom uvjetu: nepromjenjivoj duljini niti
⃗F v,j = m j ⃗g + F ⃗ nap,j + R ⃗ j
l 0 = r 1 + r 2 = const.