KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

6.8.
MATEMATIČKO NJIHALO 163
Uvedimo sada novu varijablu Φ relacijom
U varijabli Φ, jednadžba za period glasi
sin(ϕ/2) = sin(ϕ 0 /2) sin Φ.
√
l
T = 4
g
∫ π/2
0
dΦ
√
1 − k2 sin 2 Φ , (6.58)
gdje je
k 2 = sin 2 (ϕ 0 /2).
Integral koji se pojavljuje na desnoj strani se zove eliptički integral prve vrste i ne može
se izraziti preko elementarnih funkcija. Koristeći se binomnim teoremom
(1 + x) p = 1 + px +
p(p − 1)
1 · 2 x2 +
p(p − 1)(p − 2)
x 3 + · · · ,
1 · 2 · 3
korjen pod integralom može razviti u red potencija. Uz p = −1/2 i x = −k 2 sin 2 Φ, binomni
teorem možemo primjeniti na razvoj podintegralne funkcije u izrazu za period
√
∫
l π/2
(
T = 4 dΦ 1 + 1 g
2 k2 sin 2 Φ + 1 · 3
2 · 4 k4 sin 4 Φ + 1 · 3 · 5
)
2 · 4 · 6 k6 sin 6 Φ · · · .
Svi su integrali s desne strane rješivi
0
∫ π/2
0
(sin x) 2n dx =
1 · 3 · 5 · · · (2n − 1)
2 · 4 · 6 · · · (2n)
Uvrštavanjem ovih rješenja, dobije se period matematičkog njihala za proizvoljnu
vrijednost amplitude ϕ 0 , u obliku beskonačnog reda potencija u varijabli k
π
2 .
√
l
T = 2π
g
[ ( ) 2 1
1 + k 2 +
2
( ) 2 1 · 3
k 4 +
2 · 4
( ) ]
2 1 · 3 · 5
k 6 + · · · . (6.59)
2 · 4 · 6
U granici malih amplituda ϕ 0 , i k će biti mala veličina, pa najveći doprinos periodu dolazi od
prvog člana koji prepoznajemo kao (6.57), T = 2π √ l/g.
Primjer: 6.6 tekst primjera
R: tekst rješenja