KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

182 POGLAVLJE 7. GRAVITACIJA I CENTRALNE SILE
Koristeći oznake sa slike 7.5, možemo napisati
V (⃗r) = −G ρ 0
∫ Rv
R u 0
r ′ 2 dr ′ ∫ π
sin θ ′ dθ ′ ∫ 2π
Sličnim postupkom kao kod računa sile, kutni dio integracije daje
0
dϕ ′ 1
|⃗r ′ − rẑ |
∫ π
0
sin θ ′ dθ ′ ∫ 2π
0
dϕ ′ 1
|⃗r ′ − rẑ |
=
∫ π
0
= 2 π
rr ′
sin θ ′ dθ ′
√
r
′ 2
+ r 2 − 2rr ′ cos θ ′
(r ′ + r − |r ′ − r|),
∫ 2π
0
dϕ ′
što vodi na integral za potencijal
V (r) = − G ρ 0
2 π
r
∫ Rv
R u
r ′ dr ′ (r ′ + r − |r ′ − r|).
Sada opet razlikujemo tri moguća položaja čestice u odnosu na šuplju kuglu:
IN: čestica može biti u šupljini,
INTER: čestica može biti u prostoru izmedu R u i R v , i
OUT: čestica može biti izvan kugle.
IN: unutar šupljine je r < R u ≤ r ′ , pa je i |r − r ′ | = r ′ − r
V IN = − G ρ 0
2 π
r
∫ Rv
Potencijal u šupljini je konstantan.
R u
r ′ dr ′ (r ′ + r − r ′ + r) = − G 2 π ρ 0 (R 2 v − R 2 u). (7.25)
INTER: U ovom dijelu prostora, integraciju treba rastaviti na dva dijela:
tako da je
R u ≤ r ′ ≤ r ⇒ |r − r ′ | = r − r ′ ,
r ≤ r ′ ≤ R v ⇒ |r − r ′ | = r ′ − r.,
∫ Rv
R u
dr ′ =
∫ r
R u
dr ′
} {{ }
r ′ < r
+
∫ Rv
dr ′
r
} {{ }
r ′ > r
Uz gornji rastav, za potencijal se dobiva,
[∫
2 π r
V INT ER (r) = − G ρ 0 r ′ dr ′ (r ′ + r + r ′ − r) +
r R
( u
= −G 2 π ρ o Rv 2 − r2
3 − 2 )
R3 u
3 r
.
∫ Rv
r
]
r ′ dr ′ (r ′ + r − r ′ + r)
(7.26)