KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

Poglavlje 5
Gibanje čestice u polju konstantne sile
i sila ovisnih o brzini
5.1 Gibanje u polju konstantne sile: slobodan pad
U prethodnom smo se poglavlju upoznali s drugim Newtonovim aksiomom, tj. jednadžbom
gibanja, (4.4), čestice pod djelovanjem sila ⃗ F
d 2 ⃗r
dt 2 = 1 m ⃗ F . (5.1)
Ponovimo još jednom da je to diferencijalna jednadžba drugog reda i da je njezino rješenje
⃗r = ⃗r(t; ⃗r 0 , ⃗v 0 ) (5.2)
jednoznačno odredeno zadavanjem početnih uvjeta, tj. poznavanjem položaja i brzine čestice
u jednom odredenom trenutku t 0
⃗r 0 = ⃗r(t 0 ), ⃗v 0 = ⃗v(t 0 ).
U ovom ćemo se poglavlju baviti rješavanjem ove jednadžbe u osobito jednostavnim slučajevima
kada je sila (desna strana jednadžbe) konstantna. Budući da je sila vektor, njezina konstantnost
znači konstantnost i po iznosu i po smjeru.
Evo najjednostavnijeg primjera: sila je konstantna i nema nikakvih dodatnih uvjeta na gibanje.
Zbog općenitosti ćemo pretpostaviti da je sila koja djeluje na česticu oblika
⃗F = ˆx F 0,x + ŷ F 0,y + ẑ F 0,z ,
(slika 5.1), gdje su F 0,x , F 0,y i F 0,z konstante. Ako se u trenutku t 0 čestica nalazila u točki
⃗r 0 = (x 0 , y 0 , z 0 ) i imala brzinu ⃗v 0 = (v 0,x , v 0,y , v 0,z ), treba odrediti položaj, brzinu i ubrzanje
čestice u proizvoljnom trenutku t (bez obzira prošlom, t < t 0 , ili budućem, t > t 0 ). Postavimo
jednadžbu gibanja (5.1) i raspišimo ju po komponentama u pravokutnom koordinatnom sustavu
d 2 x
dt 2 = F 0,x
m ,
d 2 y
dt 2 = F 0,y
m ,
Navedimo i početne uvjete u pravokutnom koordinatnom sustavu:
x(t = t 0 ) = x 0 , y(t = t 0 ) = y 0 , z(t = t 0 ) = z 0 ,
v x (t = t 0 ) = v 0,x , v y (t = t 0 ) = v 0,y , v z (t = t 0 ) = v 0,z .
101
d 2 z
dt 2 = F 0,z
m . (5.3)