KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

218 POGLAVLJE 7. GRAVITACIJA I CENTRALNE SILE
Primjetimo usput i to, da u tom slučaju sama linijska (obodna) brzina čestice, v = dl/dt, nije
konstantna, nego je veća kada je čestica bliže izvoru sile (žarištu elipse), a manja kada je čestica
dalje od izvora sile. Relacijom (7.58), smo pokazali da je energija gibanja po eliptičkoj putanji
E elp = − K 2a . (7.64)
S druge je strane, ukupna mehanička energija jednaka zbroju kinetičke i potencijalne energije
mv 2
− K 2 ρ 2a/ = E = − K 2
m , (7.65)
v 2 = K ( 2
m ρ a)
− 1 .
Kao posljedicu konstantnosti površinske brzine, dobili smo linijsku brzinu koja nije konstantna,
nego je najveća kada je planet najbliži Suncu (tj. kada je ρ najmanji), a najmanja kada je
najdalje od njega (tj. kada je ρ najveći).
Izvod trećeg Keplerovog zakona iz Newtonovog zakona gravitacije :
Treći Keplerov zakon kaže da je omjer kvadrata ophodnog vremena T planeta oko Sunca i kuba
velike poluosi a njegove putanje konstantan za sve planete. Ako poluosi elipse po kojoj se giba
planet označimo s a i b, tada je površina elipse jednaka abπ. Površinska brzina Ṡ je konstantna
i jednaka je L 0 /(2m). U vremenu od jednog perioda, planet će opisati površinu cijele elipse, pa
je
L 0
2m = abπ
T
⇒
T = 2m
L 0
Da bi se dobila veza izmedu perioda T i velike poluosi a, treba malu poluos b izraziti preko a.
Iz definicije ekscentriciteta, ɛ = √ a 2 − b 2 /a, je
b = a √ 1 − ɛ 2 .
Izračunamo li ɛ iz (7.61), tako što ćemo uvrstiti energiju E elp = −K/(2a), dobivamo
abπ.
ɛ 2 = 1 − L2 0
Kam ⇒ 1 − ɛ2 = L2 0
Kam .
Uvrštavanjem gornjeg 1 − ɛ 2 u izraz za b, slijedi
Sada je površina elipse
b = a √ 1 − ɛ 2 = a
√
L
2
0
Kam .
abπ = a 2 π
Uvrštavanje abπ u izraz za period, daje
√
L
2
0
Kam = π √
L
2
0 a 3
Km .
T = 2πm
√
L
2
0 a 3
L 0 Km
/ 2
⇒ T 2 = 4π2 m 2
L 2 0
L 2 0a 3
Km = 4π2 m
K a3 .