KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

82POGLAVLJE 4. NEWTONOVI AKSIOMI GIBANJA, KONZERVATIVNOST, RAD, ENERGIJA, MOMENTI
gdje je ⃗a ubrzanje čestice. No, ubrzanje je druga vremenska derivacija radij vektora čestice,
pa se drugi Newtonov aksiom čita kao nehomogena diferencijalna jednadžba drugog reda za
nepoznatu funkciju ⃗r = ⃗r(t)
d 2 ⃗r
dt 2 = 1 m ⃗ F (⃗r, t), (4.4)
gdje je nehomogeni član srazmjeran zbroju vanjskih sila F ⃗ koje se smatraju poznatim (zadanim)
funkcijama. Rješenje gornje jednadžbe je jednoznačno odredeno početnim uvjetima koji
odreduju stanje gibanja čestice (njezin položaj i brzinu) u nekom odredenom vremenskom
trenutku t 0
⃗r(t = t 0 ) = ⃗r 0 , ⃗v(t = t 0 ) = ⃗v 0 .
Rješenje jednadžbe (4.4)
⃗r = ⃗r(t; ⃗r 0 , ⃗v 0 )
daje položaj čestice u svakom vremenskom trenutku (i prošlom, t < t 0 , i budućem, t > t 0 ).
Drugi Newtonov aksiom se smatra definicijskom jednadžbom za silu iz koje slijedi dimenzija
sile
[ ] [ ]
⃗F
d 2 ⃗r
= [m] = m l
dt 2 t 2
i njezina mjerna jedinica koja se u SI sustavu zove njutn i označava s N
N = kg m s 2 .
♣ Na ovom mjestu je zgodno uvesti pojmove inercijskog i neinercijskog koordinatnog ili referentnog
sustava. Svi koordinatni sustavi u kojima vrijedi drugi Newtonov aksiom se zovu
inercijski sustavi. Svaki sustav koji se giba konstantnom brzinom u odnosu na neki inercijski
sustav, i sam je inercijski. Svi sustavi koji nisu inercijski, jesu neinercijski.
Precizirajmo malo pojmove inercijskog i neinercijskog sustava. Promatrajmo dva pravokutna
koordinatna sustva: S = (O, x, y, z) i S ′ = (O ′ , x ′ , y ′ , z ′ ) kao na slici 4.1. Neka se čestica
(trome) mase m giba kroz prostor tako da se u trenutku t nalazi u točki P . Gledano iz sustava
S, njezin je radij vektor tada ⃗r(t), a gledano iz sustva S ′ , radij vektor je ⃗r ′ (t) (primjetimo da
smo ovime implicitno pretpostavili da su vremena u oba sustava ista, tj. da je t = t ′ ). Ova
su dva vektora povezana jednostavnom relacijom ⃗r = ⃗ R + ⃗r ′ (sjetimo se pravila o zbrajanju
vektora sa str. 9). Promatrač koji miruje u sustavu S, opisuje gibanje čestice jednadžbom (4.4)
m ¨⃗r = ⃗ F ,
gdje ⃗ F označava zbroj svih sila koje djeluju na česticu u sustavu S. Promatrač koji miruje u
sustavu S ′ , takoder opisuje gibanje čestice jednadžbom (4.4)
m ⃗ ¨ r ′ = F ⃗ ′ ,
gdje sada ⃗ F ′ označava zbroj svih sila koje djeluju na česticu u sustavu S ′ . Ove dvije jednadžbe
gibanja su povezane relacijom ⃗r = ⃗ R + ⃗r ′
⃗F = m¨⃗r = m( ¨⃗ R + ⃗ ¨′
r) = m ¨⃗ R + F ⃗ ′
⃗F = m ¨⃗ R + ⃗ F ′ .