KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

11.2. MALI TRANSVERZALNI TITRAJI KONTINUIRANOG JEDNODIMENZIJSKOG SUSTAVA ČESTICA 305
Početni uvjeti:
Početni uvjeti definiraju stanje titranja (to znači položaj i brzinu svake točke niti) u nekom
odredenom trenutku (kojemu se najčešće pridružuje vrijednost t = t 0 ili t = 0)
ψ(x, t = 0) = f 0 (x),
∂ψ(x, t)
∂t
∣ = g 0 (x). (11.16)
t=0
Funkcija f 0 (x) označava položaja, a funkcija g 0 (x) brzinu svake točke niti, x ∈ [0, L], u trenutku
t = 0. Za usporedbu, kod opisa gibanja jedne čestice, početni uvjeti su početni položaj čestice
⃗r 0 (to je sada početni položaj svih čestica niti, f 0 (x)) i početna brzina čestice ⃗v 0 (x) (to je sada
početna brzina svih čestica niti, g 0 (x)).
11.2.2 Nit s oba nepomična ruba: stojni val
Pretpostavimo da se rješenje valne jednadžbe ψ(x, t) može napisati u obliku umnoška 2 dvije
funkcije: jedne, koja ovisi samo o prostornoj koordinati X (x) i druge, koja ovisi samo o
vremenskoj koordinati T (t) (to je oblik rješenja koji potječe od D. Bernoullija 3 )
i uvrstimo to u valnu jednadžbu
ψ(x, t) = X (x) · T (t)
/
X d2 T
= v 2
dt 2 f T d2 X
dx , 1
2 vf 2X T
1 d 2 T
vf 2T = 1 d 2 X
dt 2 X dx . 2
Osnovno i najvažnije je primjetiti da lijeva strana ovisi samo o vremenskoj, a desna samo
o prostornoj koordinati. Zato je, sa stanovišta funkcije T (t), desna strana gornje jednadžbe
konstantna. Isto je tako, sa stanovišta funkcije X (x), lijeva strana gornje jednadžbe konstantna.
Nazovimo tu konstantu −k 2 ≠ 0. Tako dolazimo do dvije jednadžbe
d 2 X
dx 2 = −k2 X ,
d 2 T
dt 2 = −k2 v 2 f T .
S diferencijalnim jednadžbama ovog tipa smo se već susretali kod rješavanja jednadžbe gibanja
harmonijskog oscilatora u odjeljku 6: to su očito linearne kombinacije trigonometrijskih funkcija
X (x) = a 1 cos kx + b 1 sin kx,
T (t) = a 2 cos kv f t + b 2 sin kv f t,
ψ(x, t) = (a 1 cos kx + b 1 sin kx)(a 2 cos kv f t + b 2 sin kv f t),
za konstantne a j i b j . Prema načinu kako smo uveli konstantu k, vidi se da ona ima dimenziju
inverzne duljine i zvat ćemo ju valni broj (a u dvije i tri dimenzije, to će biti valni vektor).
Četiri nepoznate konstante u gornjem rješenju ćemo odrediti pomoću dva rubna i dva početna
uvjeta.
2 Usporediti s poglavljem o parcijalnim diferencijalnim jednadžbama u [12]
3 Daniel Bernoulli, 1700. - 1782., nizozemski fizičar.