KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

6.1. SLOBODNI HARMONIJSKI OSCILATOR 127
Preostale dvije nepoznate konstante, C i S, ćemo odrediti iz dva početna uvjeta (6.1).
x(t = 0) = x 0 = C · 1 + S · 0 ⇒ C = x 0 ,
ẋ (t = 0) = v 0 = ω 0 (−x 0 · 0 + S · 1) ⇒ S = v 0
ω 0
,
x(t) = x 0 cos ω 0 t + v 0
ω 0
sin ω 0 t.
Umjesto zbroja funkcija sinusa i kosinusa, gornje rješenje možemo napisati i kao jednu od tih
funkcija, ali s pomakom u fazi. Tako se npr. uvodenjem konstanata A (amplituda) i Φ (pomak
u fazi)
√
A =
x 2 0 + v2 0
, tan Φ = v 0
, (6.3)
ω0
2 ω 0 x 0
rješenje za trenutni otklon od položaja ravnoteže (tj. putanju), x(t), dobiva u obliku (slika 6.2)
x(t) = A cos(ω 0 t − Φ). (6.4)
Trenutni otklon od položaja ravnoteže, x(t), se naziva i elongacija. Maksimalni otklon kod
titranja nazivamo amplituda i ona je, prema gornjem izrazu, jednaka ±A. Osim o K i m,
amplituda ovisi i o početnim uvjetima x 0 i v 0 . Čestica titra oko položaja ravnoteže kružnom
frekvencijom ω 0 koja se naziva vlastita frekvencija titranja.
Slika 6.2: Otklon x(t) = 0.5 cos(2 t − 0.8).
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
x ( t )
0
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
-0.5
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
t
Ako nismo dovoljno dosjetljivi da pogodimo rješenje jednadžbe, onda ju trebamo riješiti.
Zaboravimo na trenutak na gornje rješenje i počnimo rješavati jednadžbu gibanja (6.2). Pomnožimo
li obje strane jednadžbe s 2ẋ
2 ẋ ẍ = −2 ω 2 0 x ẋ ,