KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

11.1. MALI LONGITUDINALNI TITRAJI JEDNODIMENZIJSKOG DISKRETNOG SUSTAVA ČESTICA 295
Sada jednadžbe gibanja možemo napisati puno preglednije
¨ψ(1, t) = 0 − 2K m ψ(1, t) + K ψ(2, t),
m
¨ψ(2, t) =
K
m ψ(1, t) − 2K m ψ(2, t) + K ψ(3, t),
m
(11.1)
¨ψ(N − 1, t) =
.
¨ψ(N, t) =
K
m ψ(N − 2, t) − 2K m ψ(N − 1, t) + K ψ(N, t),
m
K
m ψ(N − 1, t) − 2K ψ(N, t) + 0 .
m
Uočimo da su gornje jednadžbe oblika valne jednadžbe. Opći oblik gornjih jednadžba je
¨ψ(j, t) = K m
[
]
ψ(j − 1, t) − 2ψ(j, t) + ψ(j + 1, t) ,
uz rubne uvjete ψ(−1, t) = ψ(N + 1, t) ≡ 0. Argument j je diskretna prostorna koordinata i
opisuje položaj j-te čestice. U tom smislu se i razlika ψ(j + 1, t) − ψ(j, t) i ψ(j, t) − ψ(j − 1, t)
mogu shvatiti kao diskretne derivacije
ψ(j + 1, t) − ψ(j, t) =
ψ(j, t) − ψ(j − 1, t) =
Time polazna jednadžba postaje
ψ(j + 1, t) − ψ(j, t)
(j + 1) − j
ψ(j, t) − ψ(j − 1, t)
j − (j − 1)
= d ψ(j + 1/2, t),
d j
= d ψ(j − 1/2, t).
d j
¨ψ(j, t) = K m
[ ] d
d
ψ(j + 1/2, t) −
d j d j ψ(j − 1/2, t) = K m
tj. dobiva se jednadžba oblika valne jednadžbe
d
d j ψ(j + 1 , t) − d
2
d j ψ(j − 1 , t) 2
(j + 1 ) − (j − 1 ) = K m
2 2
d 2
ψ(j, t),
d j2 ∂ 2 ψ(j, t)
∂ t 2
s brzinom širenja vala jednakom √ K/m.
= K m
∂ 2 ψ(j, t)
∂ j 2 , (11.2)
Kao i kod rješavanja harmonijskog oscilatora u odjeljku 6, pretpostavimo 1
(11.1) u obliku linearne kombinacije trigonometrijskih funkcija
rješenje sustava
ψ(j, t) = a j cos(ωt) + b j sin(ωt), (11.3)
gdje je j prostorna, a t vremenska varijabla. Lako je vidjeti da je ¨ψ(j, t) = −ω 2 ψ(j, t), što
1 Ovaj oblik rješenja je upravo oblik ψ(j, t) = X(j) · T (t) (vidjeti npr. [12], odjeljak o parcijalnim diferencijalnim jednadžbama).
I konačno rjesenje (11.9) je oblika umnoška funkcije ovisne o j i funkcije ovisne o t.