KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

11.1. MALI LONGITUDINALNI TITRAJI JEDNODIMENZIJSKOG DISKRETNOG SUSTAVA ČESTICA 299
Slika 11.2: (A) N različitih mogućih frekvencija titranja sustava vezanih harmonijskih oscilatora. (B) Posebni
slučaj N = 1
može titrati s N gornjih frekvencija (slika 11.2.A). Ograničimo li se na N = 1 (slika 11.2.B),
preostaje samo jedna frekvencija ω 1 = √ 2K/m, a to je ista frekvencija kao i ω 0 = √ K/m iz
poglavlja 6, samo što sada imamo dvije opruge, pa K → 2 K.
Sada, kada smo našli frekvencije, tj. svojstvene vrijednosti matrice medudjelovanja, možemo
prijeći na račun amplituda titranja pojedinog harmonijskog oscilatora, tj. na račun svojstvenih
vektora. Kao što smo spomenuli na strani 296, komponente svojsvenog vektora pridruženog
danoj svojstvenoj vrijednosti računamo tako da svojstvenu vrijednost ω n uvrstimo u jednadžbu
A Ψ ⃗ n = (m ωn/K) 2 Ψ ⃗ n . Ova vektorska jednadžba predstavlja sustav od N skalarnih jednadžba
za N komponenata vektora Ψ ⃗ n , koje ćemo označiti s ψ n (j, t) za j = 1, 2, · · · , N. Dakle, za
svaku od N svojstvenih frekvencija ω n , treba rješiti N × N sustav
(
−ψ n (j − 1, t) + 2 − m )
ω2 n
ψ n (j, t) − ψ n (j + 1, t) = 0, j = 1, 2, · · · , N, (11.8)
K
uz rubne uvjete ψ n (j = 0, t) ≡ 0 i ψ n (j = N + 1, t) ≡ 0. Budući da se radi o titranju, već
smo, relacijom (11.3), pretpostavili oblik rješenja za pomake. Sada u to rješenje treba unijeti
spoznaju da sustav može titrati s više različitih frekvencija, tj. da svakoj frekvenciji treba
pridružiti drukčiji pomak
ψ n (j, t) = a n (j) cos(ω n t) + b n (j) sin(ω n t),
Indeks j odreduje prostorni položaj harmonijskog oscilatora, a index n odreduje frekvenciju
titranja. Uvrštenje gornjeg izraza u sustav jednadžba (11.8), daje
[
]
nπ
cos(ω n t) −a n (j − 1) + 2 cos
N + 1 a n(j) − a n (j + 1)
[
]
nπ
+ sin(ω n t) −b n (j − 1) + 2 cos
N + 1 b n(j) − b n (j + 1) = 0