KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

2.5.
CILINDRIČNI KOORDINATNI SUSTAV 45
Iznos vektora je dan Pitagorinim poučkom
| V ⃗ √
| = Vρ 2 + Vϕ 2 + Vz 2 .
Množenje vektora sklarom s
s ⃗ V = s V ρ ˆρ + s V ϕ ˆϕ + s ⃗ V z ẑ .
U skladu s definicijom skalarnog umnoška, a pomoću relacija (2.58) i (2.59), za bazne vektore
vrijedi
ˆρ · ˆρ = 1, ˆρ · ˆϕ = 0, ˆρ · ẑ = 0,
ˆϕ · ˆρ = 0, ˆϕ · ˆϕ = 1, ˆϕ · ẑ = 0, (2.61)
ẑ · ˆρ = 0, ẑ · ˆϕ = 0, ẑ · ẑ = 1.
Iz gornje tablice slijedi izraz za skalarni umnožak dva proizvoljna vektora
⃗V · ⃗U = (V ρ ˆρ + V ϕ ˆϕ + V z ẑ ) · (U ρ ˆρ + U ϕ ˆϕ + U z ẑ ) = V ρ U ρ + V ϕ U ϕ + V z U z .
Pomoću skalarnog umnoška se i kut medu vektorima može napisati kao: ˆV ·Û = 1·1 cos( ⃗ V , ⃗ U),
što možemo iskoristiti da dodemo do zapisa vektora preko njegovog iznosa i kosinusa kutova
koje zatvara s koordinatnim osima.
ˆV · ˆρ = cos( V ⃗ V
, ˆρ ) = ⃗ V · ˆρ = V ρ ˆρ + V ϕ ˆϕ + V z ẑ
· ˆρ = V ρ
[
V
V
⃗V = V cos( V ⃗ , ˆρ ) ˆρ + cos( V ⃗ , ˆϕ ) ˆϕ + cos( V ⃗ ]
, ẑ ) ẑ .
⇒ V ρ = V cos( ⃗ V , ˆρ ),
Iz relacija (2.58) i (2.59) se takoder dolazi i do izraza za vektorske umnoške baznih vektora
ˆρ × ˆρ = 0, ˆρ × ˆϕ = ẑ , ˆρ × ẑ = − ˆϕ ,
ˆϕ × ˆρ = −ẑ , ˆϕ × ˆϕ = 0, ˆϕ × ẑ = ˆρ , (2.62)
ẑ × ˆρ = ˆϕ , ẑ × ˆϕ = −ˆρ , ẑ × ẑ = 0.
Pomoću gornjih umnožaka, lako se dobiva i izraz za komponente vektorskog umnoška dva opća
vektora
⃗V × ⃗ U = ˆρ (V ϕ U z − V z U ϕ ) + ˆϕ (V z U ρ − V ρ U z ) + ẑ (V ρ U ϕ − V ϕ U ρ ).
Primjetimo cikličnost u definiciji komponenata vektorskog umnoška: ρ → ϕ → z → ρ →
ϕ → · · · . Vektorski umnožak se može pregledno napisati i preko determinante (u pomalo
nekorektnom obliku, jer nisu svi elementi determinate skalari)
ˆρ ˆϕ ẑ
⃗V × ⃗ U =
V ρ V ϕ V z
U ρ U ϕ U z
.
Usporedbom rastava ⃗ V u pravokutnoj i cilindričnoj bazi
⃗V = V x ˆx + V y ŷ + V z ẑ = V ρ ˆρ + V ϕ ˆϕ + V z ẑ ,