KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

7.8. POTENCIJALNA ENERGIJA ČESTICE U POLJU CENTRALNE SILE 207
7.8 Potencijalna energija čestice u polju centralne sile
Pokažimo da je centralno polje sile konzervativno (kao što smo već pokazali za gravitacijsku
silu), tako što ćemo pokazati da je njegova rotacija jednaka nuli. Operator rotacije u
cilindričnom koordinatnom sustavu se može naći npr. u [12]
[
−→ ∇ × F ⃗ 1 ∂ F z =
ρ ∂ ϕ − ∂ F ] [
ϕ ∂ Fρ
ˆρ +
∂ z ∂ z − ∂ F ]
z
ˆϕ + 1 [ ∂ (ρFϕ )
− ∂ F ]
ρ
ẑ .
∂ ρ ρ ∂ ρ ∂ ϕ
Za centralne sile je ⃗ F = f(ρ)ˆρ , pa su F ϕ = F z = 0, a F ρ = f(ρ) ovisi samo o varijabli ρ, tako
da su svi članovi desne strane gornjeg izraza jednaki nuli
−→ ∇ × ⃗ F = 0.
Budući da je centralno polje sila konzervativno, može se definirati potencijalna energija E p sa
svojstvom
⃗F = − −→ ∇E p .
Uvrštavanjem gradijenta u cilindričnom koordinatnom sustavu, (koji se takoder može naći u
[12]),
dolazi se do tri skalarne jednadžbe
−f(ρ) ˆρ = −→ ∇E p = ˆρ ∂ E p
∂ ρ + ˆϕ ∂ E p
ρ ∂ ϕ + ẑ ∂ E p
∂ z ,
s rješenjima
∫
E p = −
∂ E p
∂ ρ = −f(ρ),
∂ E p
∂ ϕ = 0,
∂ E p
∂ z = 0,
f(ρ)dρ + c 1 (ϕ, z), E p = c 2 (ρ, z), E p = c 3 (ϕ, z).
Sve tri gornje jednadžbe su zadovoljne za potencijalnu energiju
∫
E p = − f(ρ)dρ + c 0 .
Konstanta c 0 se odreduje odabirom ekvipotencijalne plohe na kojoj je potencijalna energija
jednaka nuli. Npr. kod elastične sile se obično odabire E p (ρ = 0) = 0, dok se kod gravitacijske
sile najčešće odabire E p (ρ → ∞) = 0.
7.9 Sačuvanje energije
Ukupna mehanička energija u polju konzervativne sile je
Kinetička energija je
E k = mv2
2
E = E k + E p = const.
= m 2 ( ˙ρˆρ + ρ ˙ϕ ˆϕ )2 = m 2 ( ˙ρ2 + ρ 2 ˙ϕ 2 ).