KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

5.4. SILE OVISNE O BRZINI: (1) SILA PRIGUŠENJA 113
što je upravo rezultat (5.9) koji se dobije promatranjem slobodnog pada bez učinka trenja.
Izračunajmo mehaničku energiju u proizvoljnom trenutku t > 0 i pokažimo da je manja od
početne energije mgz 0 + mv0 2 /2, a da je smanjenje energije srazmjerno s koeficijentom β koji
odreduje silu prigušenja. U trenutku t > 0, energija je jednaka E = m g z + m ż 2 /2. Izravnom
derivacijom E po vremenu, i uvrštavanjem (5.16) i (5.17), dolazi se do
dE
dt
= mż (g + ¨z ) =
−1
β
[
mg ( 1 − e −βt/m) − βv 0 e −βt/m ] 2.
Desna je strana uvijek manja od nule, što znači da se energija smanjuje s vremenom (vrijeme
uvijek ide u jednom smjeru, pa je zato dt uvijek veći od nule; da bi i lijeva strana bila negativna
mora biti d E < 0, tj. energija se mora smanjivati). Primjetimo da gubitak energije nije
ravnomjeran u vremenu, tako npr. za male vrijednosti β i/ili t je
dE
dt = −β(v 0 − gt + · · · ) 2 .
(od t = 0 pa do t = v 0 /g se gubitak energije smanjuje, a zatim se ponovo povećava). U granici
β → 0, energija ostaje sačuvana.
5.4.2 Kosi hitac
Jednadžbama kosog hica (5.11), dodajmo član s trenjem
m d 2 ⃗r
dt = −gẑ − β ⃗v ⇒ d 2 x
2 dt = − β 2 mẋ , d 2 y
dt = − β 2 m ẏ , d 2 z
dt = −g − β 2 mż . (5.18)
Jednadžbe za x i y koordinatu su istog oblika, pa je dovoljno riješiti samo jednu od njih, npr.
za komponentu x (slično kao kod slobodnog pada)
Slično bi se dobilo i za v y (t)
∫ vx(t)
v x (0)
m dv x
= −βv x
dt
dv x
= − β /∫ t
v x m dt
ln v x(t)
v x (0)
dv x
v x
= − β m
= − β m t
∫ t
0
dt
v x (t) = v x (0) e −β t/m .
v x (t) = v x (0) e −β t/m , v y (t) = v y (0) e −β t/m .
Prema početnim uvjetima je v x (0) = 0, v y (0) = v 0 cos α, što vodi na
v x (t) = 0, v y (t) = v 0 cos α e −β t/m .
Rješavanje z komponente takoder ide kao i kod slobodnog pada: uvodi se nova varabla Z =
−g − βż čime jednadžba za z komponentu postaje
− β dZ
m dt = Z,
0