KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

374 POGLAVLJE 13. PROSTORNO GIBANJE KRUTOG TIJELA
ili, po komponentama
ω 1 = ˙Φ sin Θ sin Ψ + ˙Θ cos Ψ,
ω 2 = ˙Φ sin Θ cos Ψ − ˙Θ sin Ψ, (13.22)
ω 3 = ˙Φ cos Θ + ˙Ψ .
Na sličan način, polazeći od (13.21) i uvrštavanjem (13.20), mogu se izračunati i komponente
brzine vrtnje ⃗ω u nepomičnom (inercijskom) (x, y, z) sustavu
⃗ω = ˆx ( ˙Θ cos Φ + ˙Ψ sin Φ sin Θ) + ŷ ( ˙Θ sin Φ − ˙Ψ cos Φ sin Θ) + ẑ ( ˙Φ + ˙Ψ cos Θ), (13.23)
ili, po komponentama
ω x = ˙Θ cos Φ + ˙Ψ sin Φ sin Θ,
ω y = ˙Θ sin Φ − ˙Ψ cos Φ sin Θ,
ω z = ˙Φ + ˙Ψ cos Θ.
Iz relacije (13.6) znamo oblik kinetičke energije vrtnje u sustavu glavnih osi tijela. U vrstimo li
u taj izraz gornje vrijednosti za ω j , dobivamo kinetičku energiju vrtnje izraženu preko Eulerovih
kutova
E k,vrt = 1 2 (I 1 ω 2 1 + I 2 ω 2 2 + I 3 ω 2 3)
= I 1
2
(
˙Φ sin Θ sin Ψ + ˙Θ cos Ψ
) 2
+
I 2
2
(
˙Φ sin Θ cos Ψ − ˙Θ sin Ψ
) 2
+
I 3
2
( ) 2
˙Φ cos Θ + ˙Ψ .
U posebnom slučaju kada je tijelo oblika spljoštene (ili izdužene) kugle, je I 1 = I 2 i kinetička
se energija svodi na
E k,vrt = I 1
2
(
˙Φ 2 sin 2 Θ + ˙Θ 2 )
+ I 3
2
( ) 2
˙Φ cos Θ + ˙Ψ .
Ukoliko je tijelo oblika kugle I 1 = I 2 = I 3 = I
E k,vrt = I (
˙Φ 2 +
2 ˙Θ 2 + ˙Ψ 2 + 2 ˙Φ ˙Ψ
)
cos Θ .
(Moment tromosti kugle oko osi kroz promjer je (2/5)mR 2 , tada je npr. Θ = Φ = 0, a ˙Ψ = ω.)
13.5 Gibanje zvrka
U ovom ćemo odjeljku opisati gibanje zvrka, tj. vrtnju osno simetričnog krutog tijela oko
osi vrtnje koja se poklapa s jednom od glavnih osi (osi simetrije) tijela (slika 13.10). Jedna
točka zvrka, O, je nepomična i os vrtnje prolazi kroz tu točku. Za razliku od prethodnog
primjera (vrtnja Zemlje), gdje je moment vanjskih sila bio jednak nuli, sada će moment vanjske
(gravitacijske) sile biti različit od nule. Postavimo inercijski kordinatni sustav (x, y, z) i sustav
glavnih osi tijela (e 1 , e 2 , e 3 ) (neinercijski, čvrsto vezan uz tijelo) tako da imaju isto ishodište, a
to ishodište je nepomična točka gibanja zvrka, kao na slici 13.10. Sustav (e 1 , e 2 , e 3 ) se kutnom
brzinom ⃗ω vrti oko sustava (x, y, z). Prisjetimo se Eulerovih kutova: Φ i Θ odreduju smjer osi
vrtnje (tj. odreduju smjer ê 3 , gledano iz (x, y, z) sustava), a kut Ψ tj. kutna brzina ˙Ψ opisuje
vrtnju zvrka oko osi ê 3 . Sustav (ê 1 , ê 2 , ê 3 ) se giba u skladu s promjenom smjera osi vrtnje