KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

10.6. GIBANJE SUSTAVA ČESTICA U ODNOSU NA SREDIŠTE MASE 275
pri čemu je
a iz (10.25) znamo da je
⃗L =
⃗M v =
N∑
⃗r j × F ⃗ v,j ,
j=1
N∑
m j ⃗r j × ⃗v j = m ⃗r SM × ⃗v SM + L ⃗ ′ .
j=1
Uvrštavanjem ⃗r j = ⃗r SM + ⃗r ′
j u gornje izraze, dobiva se
dL
⃗
dt
d
(
m⃗r SM × ⃗v SM + L
dt
⃗ )
′ .
m ⃗v SM × ⃗v } {{ SM +⃗r } SM × m d⃗v SM
dt
= 0
+ d⃗ L ′
dt
= ⃗ M v ,
=
N∑
j=1
= ⃗r SM ×
(⃗r SM + ⃗r ′
j ) × ⃗ F v,j (10.26)
N∑
j=1
⃗F v,j +
N∑
j=1
⃗r ′
j × ⃗ F v,j .
Pogledajmo sada detaljnije što smo dobili. Prvi član lijeve strane je vektorski umnožak dva
jednaka vektora, pa je time jednak nuli. Da bismo prepoznali drugi član lijeve strane, prisjetimo
se jednadžbe gibanja j-te čestice iz prethodnog odjeljka
N∑
j=1
d⃗p j
dt
m j
d⃗v j
dt
= ⃗ F v,j +
=
N∑
i=1
N∑
⃗F v,j +
j=1
Kao što smo pokazali relacijom (10.11), ∑ N
i,j=1
m d⃗v SM
dt
=
⃗f i,j
/ N
∑
N∑
j=1
N∑
i=1
⃗f i,j .
j=1
⃗ f i,j = 0, pa iz gornje relacije preostaje
N∑
⃗F v,j . (10.27)
Prema gornjoj relaciji zaključujemo da se drugi član lijeve strane i prvi član desne strane izraza
(10.26) ukidaju, tako da u tom izrazu preostaje
✘✘✘✘ ✘ ✘✘
⃗r ✘
SM × m d⃗v SM
+ d⃗ L ′
dt dt
d ⃗ L ′
dt
=
=
j=1
N∑
N∑
⃗r SM × ⃗F v,j +
✟ ✟✟✟✟✟✟✟ j=1 j=1
N∑
⃗r j ′ × F ⃗ v,j .
j=1
⃗r ′
j × ⃗ F v,j .
Fizički sadržaj gornje relacije je očit: nazovemo li moment vanjskih sila u koordinatnom sustavu
(O ′ , x ′ , y ′ , z ′ )
⃗M ′
v =
N∑
j=1
⃗r ′
j × ⃗ F v,j ,