KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

356 POGLAVLJE 13. PROSTORNO GIBANJE KRUTOG TIJELA
Slika 13.1: Vrtnja krutog tijela kutnom brzinom ⃗ω (t) oko nepomične točke O.
Izračunajmo moment količine gibanja krutog tijela
⃗L =
N∑
j=1
⃗r j × ⃗p j =
N∑
j=1
⃗r j × m j ⃗v j =
N∑
j=1
⃗r j × m j (⃗ω × ⃗r j ),
gdje zbrajanje ide po svim točkama krutog tijela. Primjetimo da ⃗ L ne mora biti paralelan s
⃗ω . U nepomičnom (inercijskom) pravokutnom koordinatnom sustavu (x, y, z) sa ishodištem u
O, moment količine gibanja tijela, kutna brzina vrtnje i radij vektor j-te čestice tijela imaju
komponente:
⃗L = L x ˆx + L y ŷ + L z ẑ ,
⃗ω = ω x ˆx + ω y ŷ + ω z ẑ ,
⃗r j = x j ˆx + y j ŷ + z j ẑ .
Koristeći se vektorskim identitetom ⃗ A × ( ⃗ B × ⃗ C ) = ( ⃗ A ⃗ C ) ⃗ B − ( ⃗ A ⃗ B ) ⃗ C , izraz za ⃗ L možemo
napisati kao
N∑
N∑
⃗L = m j ⃗r j × (⃗ω × ⃗r j ) = m j [rj 2 ⃗ω − (⃗r j ⃗ω ) ⃗r j ]
j=1
N∑
= ⃗ω m j rj 2 −
j=1
j=1
j=1
N∑
m j (x j ω x + y j ω y + z j ω z ) ⃗r j ,