KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

2.5.
CILINDRIČNI KOORDINATNI SUSTAV 47
(slika 2.18)
⃗a = ⃗r(ρ + dρ, ϕ, z) − ⃗r(ρ, ϕ, z) = ∂ ⃗r dρ = ˆρ dρ,
∂ρ
⃗
∂ ⃗r
b = ⃗r(ρ, ϕ + dϕ, z) − ⃗r(ρ, ϕ, z) = dϕ = ρ ˆϕ dϕ,
∂ϕ
⃗c = ⃗r(ρ, ϕ, z + dz) − ⃗r(ρ, ϕ, z) = ∂ ⃗r dz = ẑ dz.
∂z
Prema (2.7) volumen se računa pomoću mješovitog umnoška vektora
Slika 2.18: Uz diferencijal volumena u cilindričnom koordinatnom sustavu.
d 3 r ≡ dV = ⃗a · ( ⃗ b × ⃗c ) = ˆρ dρ · (ρ ˆϕ dϕ × ẑ dz) = ρ dρ dϕ dz.
Na sličan način se može izračunati i diferencijal zakrivljene plohe z = const. Prema relaciji
(2.5) površina paralelograma je dana iznosom vektorskog umnoška vektora stranica |⃗a × ⃗ b |. U
našem primjeru je
d 2 r ≡ dS = |ˆρ dρ × ρ ˆϕ dϕ| = ρdρ dϕ.
Izračunajmo još i udaljenost ds dvije bliske točke: (ρ, ϕ, z) i (ρ + dρ, ϕ + dϕ, z + dz). U
pravokutnom koordinatnom sustavu bi se ta udaljenost lako izračunala pomoću Pitagorinog
poučka: koordinate točaka bi bile (x, y, z) i (x + dx, y + dy, z + dz), a kvadrat udaljenosti
ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 .
Koristeći veze (2.57) izmedu pravokutnog i cilindričnog sustava, lako se dobiva
dx = dρ cos ϕ − ρ sin ϕ dϕ,
dy = dρ sin ϕ + ρ cos ϕ dϕ,
ds 2 = (dρ) 2 + ρ 2 (dϕ) 2 + (dz) 2 .