KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

40 POGLAVLJE 2.
MATEMATIČKI UVOD - ELEMENTI VEKTORSKOG RAČUNA
2.4.5 Laplaceov operator
Od osobite je važnosti (napose u izučavanju valnih pojava u mehanici ili elektrostatskih pojava
u elektromagnetizmu) operator nastao djelovanjem divergencije na gradijent skalarnog polja
s(x, y, z). Taj se operator naziva Laplaceov 9 operator ili laplasijan. U pravokutnom koordinatnom
sustavu je on oblika
div (grad s) =
(
ˆx ∂ ∂ x + ŷ ∂ ∂ y + ẑ ∂ ∂ z
gdje je s ∇ 2 označen Laplaceov operator
) (
ˆx ∂ s
∂ x + ŷ ∂ s
∂ y + ẑ ∂ s )
= ∂2 s
∂ z ∂ x + ∂2 s
2 ∂ y + ∂2 s
2 ∂ z ≡ ∇ 2 s
2
∇ 2 = ∂2
∂ x 2 + ∂2
∂ y 2 + ∂2
∂ z 2 . (2.50)
Operacije gradijenta, divergencije i rotacije se mogu i kombinirati. Tako je npr. lako pokazati
(izravnim uvrštavanjem prema definicijama) da je za svako vektorsko polje ⃗ V
Slično je i za svako skalarno polje s
div rot ⃗ V ≡ −→ ∇ · ( −→ ∇ × ⃗ V ) = 0. (2.51)
rot grad s ≡ −→ ∇ × ( −→ ∇ s) = 0. (2.52)
Primjer: 2.11 Pokažite da vrijedi
−→ ∇ × (
−→ ∇ × ⃗ V ) =
−→ ∇(
−→ ∇ ⃗ V ) − ∇
2⃗ V . (2.53)
R:
Primjer: 2.12 Iz elektrostatike je poznata veza izmedu električnog polja ⃗ E i električnog potencijala
V
⃗E = − −→ ∇ V.
Pokažite da iz nje izravno slijedi druga Maxwellova jednadžba −→ ∇ × ⃗ E = 0.
R:
−→ ∇V = ˆx
∂V
∂x + ŷ ∂V
∂y + ẑ ∂V
∂z
(
−→ −→ ∂ ∂V
∇ × ( ∇V ) = ˆx
∂y ∂z − ∂ ) (
∂V ∂ ∂V
+ ŷ
∂z ∂y ∂z ∂x − ∂ )
∂sV
+ ẑ
∂x ∂z
9 Pierre Simon marquis de Laplace, 1749 - 1827, francuski fizičar, astronom, matematičar i filozof,
( ∂ ∂V
∂x ∂y − ∂ )
∂V
= 0.
∂y ∂x