KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

58 POGLAVLJE 2.
MATEMATIČKI UVOD - ELEMENTI VEKTORSKOG RAČUNA
tj. matrice [ g i,j ] i [ g i,j ] su jedna drugoj inverzne. Gornje relacije sadrže veze medu kovarijantnim
i kontravarijantnim komponentama metričkog tenzora. Tako je npr.
g 1 1 = g 2 2 g 3 3 − g 3 2 g 2 3
,
g
g 1 2 = − g 2 1 g 3 3 − g 2 3 g 3 1
,
g
g 1 3 = · · · itd. · · · ,
gdje je s g označena determinanta metričkog tenzora
g 1 1 g 1 2 g 1 3
g =
g 2 1 g 2 2 g 2 3
g 3 1 g 3 2 g 3 3
.
Neka vekor ⃗ V označava vektor koji spaja ishodište koordinatnog sustava s točkom V . Kvadrat
udaljenosti točke od ishodišta, ⃗ V · ⃗V , se naziva metrička forma. Ona se može izraziti preko
kontravarijantnih
⃗V · ⃗V = (V 1 ⃗e 1 + V 2 ⃗e 2 + V 3 ⃗e 3 ) · (V 1 ⃗e 1 + V 2 ⃗e 2 + V 3 ⃗e 3 ) (2.78)
= (V 1 ) 2 g 1 1 + (V 2 ) 2 g 2 2 + (V 3 ) 2 g 3 3 + 2 V 1 V 2 g 1 2 + 2 V 1 V 3 g 1 3 + 2 V 2 V 3 g 2 3
i preko kovarijantnih komponenata
⃗V · ⃗V = (V 1 ⃗e 1 + V 2 ⃗e 2 + V 3 ⃗e 3 ) · (V 1 ⃗e 1 + V 2 ⃗e 2 + V 3 ⃗e 3 ) (2.79)
= (V 1 ) 2 g 1 1 + (V 2 ) 2 g 2 2 + (V 3 ) 2 g 3 3 + 2 V 1 V 2 g 1 2 + 2 V 1 V 3 g 1 3 + 2 V 2 V 3 g 2 3
vektora ⃗ V (pri čemu smo uzeli u obzir da je metrički tenzor simetričan) .
I skalarni umnožak dva vektora se može izraziti preko komponenata metričkog tenzora:
⃗V · ⃗U =
3∑
i=1
V i ⃗e i
3∑
j=1
U j ⃗e j =
3∑
i=1
3∑
j=1
V i U j ⃗e i ⃗e j =
3∑
i=1
3∑
j=1
V i U j g i j
= g 1 1 V 1 U 1 + g 2 2 V 2 U 2 + g 3 3 V 3 U 3
+ g 1 2 (V 1 U 2 + V 2 U 1 ) + g 1 3 (V 1 U 3 + V 3 U 1 ) + g 2 3 (V 2 U 3 + V 3 U 2 ),
⃗V · ⃗U =
3∑
V i ⃗e i
3∑
3∑ 3∑
3∑ 3∑
U j ⃗e j = V i U j ⃗e i ⃗e j = V i U j g i j
i=1
j=1
i=1
j=1
= g 1 1 V 1 U 1 + g 2 2 V 2 U 2 + g 3 3 V 3 U 3
+ g 1 2 (V 1 U 2 + V 2 U 1 ) + g 1 3 (V 1 U 3 + V 3 U 1 ) + g 2 3 (V 2 U 3 + V 3 U 2 ).
2.8 Ortogonalna transformacija (preobrazba)
U nastavku ćemo se ograničiti na ortonormirane koordinatne sustave, pa nećemo praviti razliku
izmedu ko- i kontravarijantnih vektora.
i=1
j=1