KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

16 POGLAVLJE 2.
MATEMATIČKI UVOD - ELEMENTI VEKTORSKOG RAČUNA
ili refleksijom ili prostornom inverzijom nazivamo operaciju kojom mijenjamo smjerove koordinatnih
osi. U pravokutnom koordinatnom sustavu, to znači da treba zamijeniti
ˆx → −ˆx , ŷ → −ŷ , ẑ → −ẑ .
Ovom se transformacijom vektor ⃗ V = V x ˆx + V y ŷ + V z ẑ prevodi u
⃗V −→ V x (−ˆx ) + V y (−ŷ ) + V z (−ẑ ) = − ⃗ V .
Dakle, operacijom zrcaljenja vektor mijenja svoj predznak (prema svojoj definiciji, skalar ne
ovisi o smjerovima u prostoru, pa se on ne mijenja operacijom zrcaljenja). Promotrimo kako
se neke veličine konstruirane od vektora, transformiraju uslijed operacije zrcaljenja:
• skalarni umnožak
• vektorski umnožak
• skalarno vektorski umnožak
• vektorsko vektorski umnožak
⃗V · ⃗U −→ (− ⃗ V ) · (− ⃗ U) = ⃗ V · ⃗U.
⃗V × ⃗ U −→ (− ⃗ V ) × (− ⃗ U) = ⃗ V × ⃗ U.
⃗V · ( ⃗ U × ⃗ W ) −→ (− ⃗ V ) · [(− ⃗ U) × (− ⃗ W )] = − ⃗ V · ( ⃗ U × ⃗ W ).
⃗V × ( ⃗ U × ⃗ W ) −→ (− ⃗ V ) × [(− ⃗ U) × (− ⃗ W )] = − ⃗ V × ( ⃗ U × ⃗ W ).
Vidimo da se skalarni umnožak transformira kao pravi skalar (ne mijenja predznak), a da
se vektorsko vektorski umnožak transformira kao pravi vektor (mijenja predznak). Rezultat
skalarno vektorskog umnoška je skalar koji mijenja predznak uslijed zrcaljenja, pa se takav
skalar obično naziva pseudo skalar. Slično tome, vektorski umnožak je vektor, ali ne mijenja
predznak uslijed zrcaljenja, pa se obično naziva pseudo vektor. Može se reći da se u odnosu
na operaciju zrcaljenja vektori dijele na prave ili polarne vektore i pseudo (lažne) ili aksijalne
vektore. Pravi se vektori nazivaju i polarni zato jer su vezani za neku točku (pol), kao npr.
radij vektor, brzina ili sila. Pseudo vektori se nazivaju aksijalnima zato jer su povezani s nekom
odredenom osi zakreta (kao kod momenta sile ili momenta količine gibanja) ili sa smjerom
obilaska neke krivulje (kao kod magnetskog polja, Biot-Savartov zakon). U odnosu na operaciju
zrcaljenja, pravi vektori mijenjaju svoj predznak, dok pseudo vektori ne mijenjaju predznak.
Npr. radij vektor ⃗r = xˆx + yŷ + zẑ je pravi vektor jer zrcaljenjem mijenja svoj predznak,
⃗r = xˆx + yŷ + zẑ → −xˆx − yŷ − zẑ = −⃗r.
Primjer pseudo vektora je moment količine gibanja ⃗ L = ⃗r × ⃗p , gdje je količina gibanja, ⃗p =
m(d⃗r/dt), pravi vektor. Operacijom zrcaljenja će i ⃗r i d⃗r promjeniti predznak, tako da će
ostati nepromjenjen.
⃗L → (−⃗r) × (−⃗p ) = ⃗ L