KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

7.13. ŠTO BI BILO ... 225
Iz gornjeg izraza zaključujemo da je uvjet stabilnosti putanje (7.68), uvijek zadovoljen, ako je
D < 4.
Važno je primjetiti da gornji uvjet ne ovisi o udaljenosti r planeta od Sunca, tj. da vrijedi
za sve planete jednako (time je isključna mogućnost postojanja odredenih područja u kojima
bi sila bila stabilna ili nestabilna). Dakle, u D = 3-dimenzijskom prostoru u kojemu živimo,
gornji je uvjet zadovoljen i putanje svih planeta su stabilne u odnosu na male gravitacijske
smetnje drugih nebeskih tijela.
Primjer: 7.8 Polazeći od izraza za polje gravitacijske sile u D-dimenzijskom prostoru
⃗g (⃗r) = − K ˆr ,
rD−1 izračunajte gravitacijski potencijal u D = 1, D = 2 i D = 3-dimenzijskom prostoru.
R: Polazimo od izraza
⃗g = − −→ ∇V = −K ⃗r
r D .
(D = 1)
− −→ ∇V = −K ⃗r , ⃗r = xˆx , r = x,
r
ˆx dV
dx = K xˆx x = K ˆx ,
∫
∫
dV = K dx,
V (r) = V (0) + K r.
(D = 2)
− −→ ∇V = −K ⃗r r 2 , ⃗r = xˆx + yŷ , r2 = x 2 + y 2 ,
ˆx ∂V
∂x + ŷ ∂V xˆx + yŷ
= K
∂y x 2 + y , 2
∂V
∂x = K x
x 2 + y , ∂V
2 ∂y = K y
x 2 + y ,
∫
∫
∫ ∫
2
x dx
dV = K
x 2 + y ,
y dy
dV = K
2 x 2 + y , 2
V (⃗r) = V (⃗r 0 ) + K ln r.
(D = 3)