KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

362 POGLAVLJE 13. PROSTORNO GIBANJE KRUTOG TIJELA
(gdje r j,n označava projekciju radij vektora n-te čestice na smjer glavne osi ê j ) pojavi jednako
mnogo pozitivnih i negativnih doprinosa koji se medusobno ponište, a to je upravo znak
simetričnosti.
Izrazimo kinetičku energiju vrtnje preko veličina vezanih za sustav glavnih osi. Označimo s ω j i
L j za j = 1, 2, 3, komponente kutne brzine vrtnje i momenta količine gibanja u sustavu glavnih
osi
⃗L · ê j = L j , ⃗ω · ê j = ω j .
U tom je sustavu sustavu I dijagonalna matrica, pa relacija ⃗ L = I ⃗ω postaje jednostavno
⃗L = I 1 ω 1 ê 1 + I 2 ω 2 ê 2 + I 3 ω 3 ê 3 ,
a kinetička energija vrtnje
L 1 = I 1 ω 1 , L 2 = I 2 ω 2 , L 3 = I 3 ω 3 ,
E k,vrt = 1 2 ⃗ω ⃗ L = 1 2 (I 1 ω 2 1 + I 2 ω 2 2 + I 3 ω 2 3) (13.6)
Ako kutna brzina vrtnje ima smjer jedne od glavnih osi krutog tijela ⃗ω = ω ê j , tada će biti
⃗L = I j ω ê j , tj. u tom slučaju ⃗ L i ⃗ω imaju isti smjer, a kinetička energija vrtnje je
E k,vrt = 1 2 ⃗ω ⃗ L = 1 2 I j ω 2 (13.7)
Izraz za energiju (13.6) može napisati i drukčije, tako što će se uvesti kosinusi kutova koje os
vrtnje zatvara sa smjerovima glavnih osi. Prema samom značenju komponente ω j je
ω j = ⃗ω · ê j = ω cos(ˆω , ê j ),
stoga je, prema (13.6), i kinetička energija vrtnje jednaka
E k,vrt = 1 2
[
I1 ω 2 cos 2 (ˆω , ê 1 ) + I 2 ω 2 cos 2 (ˆω , ê 2 ) + I 3 ω 2 cos 2 (ˆω , ê 3 ) ] ≡ 1 2 ω2 I ⃗ω .
Gornji izraz definira moment tromosti krutog tijela I ⃗ω u odnosu na proizvoljni smjer vrtnje ˆω ,
izražen preko glavnih momenata tromosti I j
I ⃗ω = I 1 cos 2 (ˆω , ê 1 ) + I 2 cos 2 (ˆω , ê 2 ) + I 3 cos 2 (ˆω , ê 3 ). (13.8)
Gornji izraz je osobito važan, jer daje moment tromosti tijela oko proizvoljne osi ˆω izražen
preko momenata tromosti oko glavnih osi. Drugim riječima, ako jednom izračunamo momente
tromosti tijela oko glavnih osi, onda pomoću gornjeg izraza možemo lako izračunati moment
tromosti oko proizvoljne osi.
Primjer: 13.2 Valjak:
Izračunajmo moment tromosti valjka oko osi označene na slici 13.4. Polumjer valjka
je R, visina H, a masa m.
R: Prema relaciji (13.8), za rješenje ovog zadatka trebamo samo znati glav-