KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

2.9. SVOJSTVA TRANSFORMACIJSKE MATRICE A 63
Slika 2.23: Ortogonalna transformacija u dvije dimenzije.
Dakle, od četiri elementa a i j , samo je 4 − 3 = 1 element nezavisan, a svi ostali se
mogu izraziti preko njega. I zaista, elementarnom trigonometrijom sa slike 2.23 se
zaključuje da je
ˆx ′ = cos ϕ ˆx + sin ϕ ŷ ,
ŷ ′ = − sin ϕ ˆx + cos ϕ ŷ ,
odakle zatim pročitamo koeficijente a i j
a 1 1 = cos ϕ, a 1 2 = sin ϕ,
a 2 1 = − sin ϕ, a 2 2 = cos ϕ.
Jednadžbe uvjeta (2.93) su očito zadovoljene
cos 2 ϕ + (− sin ϕ) 2 = 1,
sin 2 ϕ + cos 2 ϕ = 1,
cos ϕ sin ϕ + (− sin ϕ) cos ϕ = 0.
2.9 Svojstva transformacijske matrice A
• Promatrajmo dvije uzastopne ortogonalne tansformacije opisane matricama A i B
⃗V → ⃗ V ′ : V ′
k =
⃗V ′ → ⃗ V ′ ′ : V ′ ′
i =
3∑
j=1
3∑
k=1
b k j V j ,
a i k V ′
k.