KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

5.1. GIBANJE U POLJU KONSTANTNE SILE: SLOBODAN PAD 103
Sličnim bi se postupkom dobile odgovarajuće jednadžbe položaja i brzine i za preostale dvije
koordinate. Ukupno rješenje koje daje položaj, brzinu i ubrzanje (u pravokutnim koordinatama)
čestice mase m koja se giba pod djelovanjem konstantne sile ⃗ F = ˆx F 0,x + ŷ F 0,y + ẑ F 0,z uz
zadane početne uvjete, za sve tri koordinate je
x(t) = x 0 + v 0,x (t − t 0 ) + 1 2
F 0,x
m (t − t 0) 2 , v x (t) = v 0,x + F 0,x
m (t − t 0), a x = F 0,x
m ,
F 0,y
y(t) = y 0 + v 0,y (t − t 0 ) + 1 2 m (t − t 0) 2 , v y (t) = v 0,y + F 0,y
m (t − t 0), a y = F 0,y
m ,
z(t) = z 0 + v 0,z (t − t 0 ) + 1 F 0,z
2 m (t − t 0) 2 , v z (t) = v 0,z + F 0,z
m (t − t 0), a z = F 0,z
m .
(5.5)
Gornji izrazi su komponente rješenja (5.2) u pravokutnom koordinatnom sustavu.
Konstantna sila je konzervativna. Pokazat ćemo da rad konstantne sile ne ovisi o obliku
putanje, nego samo o početnoj i konačnoj točki, tako što ćemo izračunati njezin rad od početne
točke (x 0 , y 0 , z 0 ) do proizvoljne krajnje točke (x, y, z)
W =
∫ (x,y,z)
(x 0 ,y 0 ,z 0 )
⃗F · d⃗r =
∫ (x,y,z)
(x 0 ,y 0 ,z 0 )
(ˆx F 0,x + ŷ F 0,y + ẑ F 0,z ) · (ˆx dx + ŷ dy + ẑ dz)
∫ x ∫ y ∫ z
= F 0,x dx + F 0,y dy + F 0,z dz
x 0 y 0 z 0
= F 0,x (x − x 0 ) + F 0,y (y − y 0 ) + F 0,z (z − z 0 ). (5.6)
Vidimo da rad ne ovisi o obliku putanje, pa zaključujemo da je konstantna sila konzervativna.
Budući da je sila konzervativna, može joj se, relacijom F ⃗ = − −→ ∇E p , pridružiti potencijalna
energija E p (x, y, z)
(
ˆx F 0,x + ŷ F 0,y + ẑ F 0,z = − ˆx ∂E p
∂x + ŷ ∂E p
∂y + ẑ ∂E )
p
∂z
⇒
F 0,x = − ∂E p
∂x ,
F 0,y = − ∂E p
∂y ,
F 0,z = − ∂E p
∂z .
Sve su tri jednadžbe istog oblika, pa je dovoljno rješavati samo jednu od njih, npr.
koordinatu
∫ /
dx
F 0,x = − ∂E p
∂x
∫
F 0,x x = −
i slično za preostale dvije jednadžbe. Sve zajedno se dobije
∂Ep
∂x dx = −E p(x, y, z) + f 1 (y, z) + c 1
za x
F 0,x x = −E p (x, y, z) + f 1 (y, z) + c 1 ,
F 0,y y = −E p (x, y, z) + f 2 (x, z) + c 2 ,
F 0,z z = −E p (x, y, z) + f 3 (x, y) + c 3 ,