KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

392 POGLAVLJE 14. LAGRANGEOVE JEDNADŽBE
ne znamo riješiti i zato nastavljamo raditi s 3N − M h poopćenih koordinata imajući na umu
da one nisu sve medusobno nezavisne
⃗r j = ⃗r j (q s ; t), j = 1, 2, · · · , 3N, s = 1, 2, · · · , 3N − M h .
Iznimka je situacija kada nema neholonomnih uvjeta, M nh = 0. Tada je broj stupnjeva slobode
S = 3N − M h , i svih S poopćenih koordinata je medusobno neovisno.
Nazovimo poopćenim brzinama ˙q s , vremenske derivacije poopćenih koordinata.
Uvedimo varijaciju vektora položaja (virtualni ili zamišljeni pomak) δ ⃗r j , kao trenutni pomak
(uz t = const., tj. δ t ≡ 0) u skladu s uvjetima na gibanje
δ ⃗r j =
3N−M
∑ h
s=1
∂⃗r j
∂q s
δ q s .
Zamišljeni (virtualni) rad je
δW =
N∑
j=1
⃗F j δ ⃗r j =
N∑
j=1
⃗F j
3N−M
∑ h
s=1
∂⃗r j
∂q s
δ q s .
Taj se rad može napisati kao umnožak poopćenih sila i diferencijala poopćenih koordinata, tako
što se definira poopćena sila, Φ s , pridružena (koja djeluje na) poopćenoj koordinati q s kao
Φ s =
N∑
j=1
⃗F j
∂ ⃗r j
∂q s
,
tako da se ukupan rad vanjskih sila nad sustavom može napisati u obliku analognom sa δW =
∑ N
j=1 ⃗ F j δ⃗r j , kao
δW =
3N−M
∑ h
s=1
Φ s δq s , (14.6)
gdje se umjesto sila i koordinata svih čestica sustava, pojavljuju poopćene sile i poopćene
koodinate. Primjetimo da je poopćena sila skalar, tj. po svom algebarskom karakteru odgovara
jednoj od komponenata sile kao vektora.
Sada želimo uspostaviti vezu izmedu poopćene sile i kinetičke energije. Do ove ćemo veze doći
u nekoliko koraka. u tim koracima ćemo poopćene koordinate q s (t) i poopćene brzine ˙q s (t),
tretirati kao dva skupa medusobno neovisnih varijabli.
(1) izvedimo takozvano poništenje točkica:
⃗r j = ⃗r j (q 1 (t), q 2 (t), · · · , q 3N−Mh (t); t)
˙⃗r j = ∂ ⃗r j
∂ q 1
˙q 1 + ∂ ⃗r j
∂ q 2
˙q 2 + · · · +
∂ ⃗r j
∂ q 3N−Mh
˙q 3N−Mh + ∂ ⃗r j
∂ t
/ d
d t
/ ∂
∂ ˙q s
∂ ˙⃗r j
∂ ˙q s
= ∂ ⃗r j
∂ q s
. (14.7)